Euler筛法用于素数筛选

Euler筛法

介绍

这是复杂度非常低的一个素数筛法，大部分资料显示时间复杂度仅为O(n)，其核心在于对于每一个数仅仅筛了一次.

标准代码

void euler_sieve(int n) {    totPrimes = 0;    for (int i = 2; i <= n; i++) {        if (!flag[i])            primes[totPrimes++] = i;        for (int j = 0; i * primes[j] <= n; j++) {            flag[i * primes[j]] = true;            if (i % primes[j] == 0)                break;        }    }}

解释

首先很容易看出，i⋅prime[i] 表示由 i（不一定是质数）乘上一个质数 prime[i] 产生的合数，于是就可以把这个产生的合数筛掉，但是要尽量少地去筛，否则就和Erathosthenes筛法（复杂度 O(nlognlogn) ，大量重复筛选）一样了.

那么怎么做才能只筛一次？关键是找出每个合数的独一无二的特性，根据这个特性去筛.

重要结论

n=Factormax⋅P

每个合数n都可以表示成这种形式，其中Factormax表示n的最大因数，并且剩下的这个 P 满足：

1. 它是一个素数.
2. 它比 Factormax 的所有因数都要小.

即 P 是 n 的最小素因数.

证明如下：

1. 首先假设P不是素数，那么就有 P=P1P2⋯Pn ，其中 P1,P2⋯Pn，P1<P2<⋯<Pn 为素数.

   于是肯定有 Factormax⋅P1 比 Factor 要大，那么 Factormax 就不是最大的因数了，which contradicts the definition.

2. 再者，我们设 Factormax=P1P2⋯Pn ，假设 P>P1 ，那么显然 PP2⋯Pn 要比 Factor 更大，which contradicts the definition.

由这个结论引出的Euler筛

假设有一个素数表 prime[n] 和一个是否为合数的标记表 flag[n] （定义 true 表示合数）. 我们每次枚举一个数 i，判断它是否标记过，如果是，那么存入 prime[n] ，否则不存. 接下来我们标记由 i （不论它是素数与否）产生的数 n=i⋅prime[n] 为合数，因为显然质数和另一个数（>2 ）相乘为合数.

根据以上结论，我们对于一个数，把它作为另一个数最大因子，那么显然可以根据已有的质数表产生一些合数. 并且我们知道这些合数显然只有一种产生方法（只有一个 Factormax ）那么我们每次根据枚举到的 i 只要判定prime[n] 是不是最小素因数就可以保证枚举的量不多不少.

根据 prime[n]∣i 来判定是否完全枚举

当 prime[n]∣i 时，我们可以知道对于 i=P1P2⋯Pn 有 Px=prime[n] ，由于我们的 prime[n] 是升序地枚举求出的，于是当满足这个条件之前，是一直有 prime[k],k<n 为最小素因数这个性质的，于是在恰好满足的时候，由 i 产生的合数就枚举完了，至于没有标记的 i⋅prime[n] 以及后面所有没有标记的，由于 i 不是它的最大因数，在接下来当枚举到的更大的 j 是它的最大因数时，就一定会被标记到.