凸包Graham模板

参考博客：http://blog.csdn.net/yangkunpengd/article/details/51336453
http://www.yalewoo.com/in_triangle_test.html
先说我对找凸包上的点时的理解：
P,A,B三个点，通过叉乘可以得知P,A,B的位置关系
AB × AP = |AB| * |AP| * sin∠PAB.
方向是A到B，A到P。
如果>0,那就是P在线AB左边,<0就是在右边，=0就是在线上。
为什么可以这样判断呢，AB × AP = |AB| * |AP| * sin∠PAB P在AB的左边，则∠PAB在0°到180°之间 sin∠PAB > 0 P在AB右边时，则∠PAB在-180°到0°之间 sin∠PAB < 0 因此，我们只要用AB和AP的叉积的正负，就可以判断P和AB的相对位置(AP相对AB是顺时针还是逆时针旋转)。

这里我想说一下我的理解吧。
为什么说一个点在线的左边就是凸包上的点呢，这个要先规定线的方向，当方向确定才能去说左边，右边。因为p0是最下边的点，通过极角排序后，咱们从X正半轴向上扫，注意叉乘公式，这个公式给了点之间的方向。所以这时候都是以左边称。一个三角形，只有一个点在所有边的左边才能定这个点在凸包内。那出现一个右边的点那就不行。举例来说有很多点，p0,p1,p2,p3….
当你知道了p0,p1是凸包上的点，通过计算发现p2在线p0p1的左边，此时线p0p1的右边是没有点的，当你手绘凸包时，线p0p1右边没有了点，那么当前知道的它左边的点就是凸包上的点，我管这个点叫凸包待定点，因为目前只计算了p2，通过计算p2的下一个点p3可以验证p2到底是不是凸包确定点。
这个是大牛博客的关于Graham算法的解释：

1.把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。2.把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。3.计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。（以上是准备步骤，以下开始求凸包）以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：4.连接P0和栈顶的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。5.如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。6.当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。7.检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。

关于这个我对于4,5,6的描述不是很理解，我个人觉得是这样，当你已经确定了p0，p1，那么p2是当前点，通过叉乘，计算如果在左边，那么把p2压入栈，这个时候我觉得不能称p2为凸包上的点而是凸包待定点，那么当前点变成了p3，通关验证p1,p2,p3可以知道p2到底是不是凸包确定点，这个图就不是，因为你发现p3是先p1p2的右边点，这个时候当线p1p2外还有其他的点，那么p1p2一定不是凸包上的边，p1已经确定是凸包上的点了，那么p2一定不是凸包确定点，弹出p2。这时就要计算p0,p1,p3的叉乘了，结果的值p3在线p0p1的左边，那么p3变成了新的凸包待定点。 就这样计算看这个点是要弹出还是要变为确定点，要变成确定点就进行下一个点，就验证其他点。
模板：

#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;struct node{    int x,y;} a[105],p[105];int top,n;double cross(node p0,node p1,node p2)//计算叉乘，注意p0,p1,p2的位置，这个决定了方向{    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x);}double dis(node a,node b)//计算距离，这个用在了当两个点在一条直线上{    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));}bool cmp(node p1,node p2)//极角排序{    double z=cross(a[0],p1,p2);    if(z>0||(z==0&&dis(a[0],p1)<dis(a[0],p2)))        return 1;    return 0;}void Graham(){    int k=0;    for(int i=0; i<n; i++)        if(a[i].y<a[k].y||(a[i].y==a[k].y&&a[i].x<a[k].x))            k=i;        swap(a[0],a[k]);//找p[0]        sort(a+1,a+n,cmp);        top=1;        p[0]=a[0];        p[1]=a[1];        for(int i=2; i<n; i++)//控制进栈出栈        {            while(cross(p[top-1],p[top],a[i])<0&&top)                top--;            top++;            p[top]=a[i];        }}int main(){    int m;    scanf("%d",&m);    while(m--)    {        scanf("%d",&n);            for(int i=0; i<n; i++)            {                scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);            }            Graham();            for(int i=0; i<=top; i++)            {                printf("%d %d\n",p[i].x,p[i].y);            }    }    return 0;}