bzoj3626[LNOI2014]LCA 树链剖分

Description

给出一个n个节点的有根树（编号为0到n-1，根节点为0）。一个点的深度定义为这个节点到根的距离+1。
设dep[i]表示点i的深度，LCA(i,j)表示i与j的最近公共祖先。
有q次询问，每次询问给出l r z，求sigma_{l<=i<=r}dep[LCA(i,z)]。
（即，求在[l,r]区间内的每个节点i与z的最近公共祖先的深度之和）

Input

第一行2个整数n q。
接下来n-1行，分别表示点1到点n-1的父节点编号。
接下来q行，每行3个整数l r z。

Output

输出q行，每行表示一个询问的答案。每个答案对201314取模输出

Sample Input

5 2

0

0

1

1

1 4 3

1 4 2

Sample Output

8

5

HINT

共5组数据，n与q的规模分别为10000,20000,30000,40000,50000。

这题很强，一开始大概想到一点东西但是没有整体的想法。。
贴一波题解巴（我不写是因为我不认为我写的能比gconeice大爷写得更好。。）
显然，暴力求解的复杂度是无法承受的。
考虑这样的一种暴力，我们把 z 到根上的点全部打标记，对于 l 到 r 之间的点，向上搜索到第一个有标记的点求出它的深度统计答案。观察到，深度其实就是上面有几个已标记了的点（包括自身）。所以，我们不妨把 z 到根的路径上的点全部 +1，对于 l 到 r 之间的点询问他们到根路径上的点权和。仔细观察上面的暴力不难发现，实际上这个操作具有叠加性，且可逆。也就是说我们可以对于 l 到 r 之间的点 i，将 i 到根的路径上的点全部 +1, 转而询问 z 到根的路径上的点（包括自身）的权值和就是这个询问的答案。把询问差分下，也就是用 [1, r] − [1, l − 1] 来计算答案，那么现在我们就有一个明显的解法。从 0 到 n − 1 依次插入点 i，即将 i 到根的路径上的点全部+1。离线询问答案即可。我们现在需要一个数据结构来维护路径加和路径求和，显然树链剖分或LCT 均可以完成这个任务。树链剖分的复杂度为 O((n + q)· log n · log n)，LCT的复杂度为 O((n + q)· log n)，均可以完成任务。至此，题目已经被我们完美解决。

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)using namespace std;const int N=1e5+5;const int mo=201314;int n,m;typedef long long ll;int tot,head[N],go[N],next[N];int siz[N],dep[N];int pos[N],top[N],fa[N];struct node{    int l,r,lazy;    ll s;}t[N*20];struct query{    int id,x,y,val;}q[N<<1];int ans[N];inline void add(int x,int y){    go[++tot]=y;    next[tot]=head[x];    head[x]=tot;}inline void dfs1(int x){    siz[x]=1;    dep[x]=fa[x]+1;    for(int i=head[x];i;i=next[i])    {        int v=go[i];        fa[v]=x;        dfs1(v);        siz[x]+=siz[v];    }}int sz;inline void dfs2(int x,int chain){    pos[x]=++sz;    top[x]=chain;    int k=0;    for(int i=head[x];i;i=next[i])    {        int v=go[i];        if (siz[v]>siz[k])k=v;    }    if (!k)return;    dfs2(k,chain);    for(int i=head[x];i;i=next[i])    {        int v=go[i];        if (v!=k)dfs2(v,v);    }}bool cmp(query a,query b){    return a.x<b.x;}inline void build(int x,int l,int r){    t[x].l=l,t[x].r=r;    if (l==r)return;    int mid=(l+r)>>1;    build(x<<1,l,mid);    build(x<<1|1,mid+1,r);}inline void pushdown(int x){    //printf("%d\n",x);    if(!t[x].lazy||t[x].l==t[x].r)return;    t[x<<1].s+=(t[x<<1].r-t[x<<1].l+1)*t[x].lazy;    t[x<<1|1].s+=(t[x<<1|1].r-t[x<<1|1].l+1)*t[x].lazy;    t[x<<1].lazy+=t[x].lazy;    t[x<<1|1].lazy+=t[x].lazy;    t[x].lazy=0;}inline void ins(int x,int l,int r){    pushdown(x);    if (t[x].l==l&&t[x].r==r)    {        t[x].lazy++;        t[x].s+=r-l+1;        return;    }    int mid=(t[x].l+t[x].r)>>1;    if(r<=mid)ins(x<<1,l,r);    else if (l>mid)ins(x<<1|1,l,r);    else ins(x<<1,l,mid),ins(x<<1|1,mid+1,r);    t[x].s=t[x<<1].s+t[x<<1|1].s;}inline int query(int x,int l,int r){    pushdown(x);    if (t[x].l==l&&t[x].r==r)return t[x].s;    int mid=(t[x].l+t[x].r)>>1;    if (r<=mid)return query(x<<1,l,r);    else if (l>mid)return query(x<<1|1,l,r);    else return query(x<<1,l,mid)+query(x<<1|1,mid+1,r);}inline void solvec(int x,int y){    while (top[x]!=top[y])    {        if (dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);        ins(1,pos[top[x]],pos[x]);        x=fa[top[x]];    }    if (dep[x]<dep[y])swap(x,y);    ins(1,pos[y],pos[x]);}inline int solveq(int x,int y){    int ans=0;    while (top[x]!=top[y])    {        if (dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);        ans+=query(1,pos[top[x]],pos[x]);        x=fa[top[x]];    }    if (dep[x]<dep[y])swap(x,y);    ans+=query(1,pos[y],pos[x]);    return ans;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    fo(i,2,n)    {        int x;        scanf("%d",&x);        add(x+1,i);    }    dfs1(1);    dfs2(1,1);    build(1,1,n);    fo(i,1,m)    {        int l,r,z;        scanf("%d%d%d",&l,&r,&z);        l++,r++,z++;        q[i*2-1].x=l-1;        q[i*2-1].y=z;        q[i*2-1].val=-1;        q[i*2-1].id=i;        q[i*2].x=r;        q[i*2].y=z;        q[i*2].val=1;        q[i*2].id=i;    }    sort(q+1,q+n*2+1,cmp);    int now=0;    fo(i,1,n*2)    {        while (now<q[i].x)        {            now++;            solvec(1,now);        }        if (now)ans[q[i].id]+=solveq(1,q[i].y)*q[i].val;    }    fo(i,1,m)printf("%d\n",ans[i]%mo);}