数论——组合数（基础）

最近大爱洛谷的大犇分站，于是又在那里随机跳题(⊙o⊙)…

然后就跳了一个奇奇怪怪的题

P1869 愚蠢的组合数
题目描述

最近老师教了狗狗怎么算组合数，狗狗又想到了一个问题。。。

狗狗定义C(N,K)表示从N个元素中不重复地选取K个元素的方案数。

狗狗想知道的是C(N,K)的奇偶性。

当然，这个整天都老是用竖式算123456789*987654321=？的人不会让你那么让自己那么轻松，它说：“N和K都可能相当大。”

但是狗狗也犯难了，所以它就找到了你，想请你帮他解决这个问题。

输入格式：
第1行：一个正整数t，表示数据的组数。
第2~2+t-1行：两个非负整数N和K。（保证k<=n）

输出格式：
每一组输入，如果C(N,K)是奇数则输出1，否则输出0。

输入样例#1：
3
1 1
1 0
2 1
输出样例#1：
1
1
0
数据范围
对于30% 的数据，n<=10^2 t<=10^4
对于50% 的数据，n<=10^3 t<=10^5
对于100%的数据，n<=10^8 t<=10^5

一看完题目，oh，shit，组合数是啥
然后找度娘：

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(n,m) 表示。

哦！这个样子！
那组合数不是很好算？
然而忽然发现数字很大
难道要高精度？

重要的事情就来了
它只要奇偶性。。。。。。
奥~~~~

然后就觉得要水题了！
结果gg

接下来就是研究题解的时刻！
结果发现了一个神奇的知识

数论Lucas定理：
用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。
C(n, k) ≡ C(n/p, k/p)*C(n%p, k%p) (mod p)
求奇偶性就是p=2

那就好了，用函数狂摸2，最后就能出来原式=c[ i ] [ j ]（i,j=0||1）
那剩下的就是给c[i][j]赋初始值就行了

于是一切变得简单

#include<stdio.h>int c[2][2], n, t, k;int ans(int a, int b) {    if (a < 2 && b < 2) return c[a][b];    //已经递归到头了    if (!ans(a%2, b%2)) return 0;    //此时若为偶，则结果为偶     return ans(a/2, b/2);    //最后这个的奇偶性决定答案奇偶性}int main() {    //初始化c(0, 0)~c(1, 1)     c[0][0] = 1;    c[0][1] = 0;    c[1][0] = 1;    c[1][1] = 1;    scanf("%d", &t);    while (t--) {        scanf("%d%d", &n, &k);        printf("%d\n", ans(n, k));    }    return 0;}

哦了