背包问题
来源:互联网 发布:安迅网络 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 21:51
01 背包
有n 种不同的物品,每个物品有两个属性,size 体积,value 价值,现在给一个容量为 w 的背包,问最多可带走多少价值的物品。
完全背包
如果物品不计件数,就是每个物品不只一件的话,稍微改下即可
f[w] 即为所求
初始化分两种情况:
1、如果背包要求正好装满则初始化 f[0] = 0, f[1~w] = -INF;
2、如果不需要正好装满 f[0~v] = 0;
举例:
01背包
V=10,N=3,c[]={3,4,5}, w={4,5,6}
(1)背包不一定装满
计算顺序是:从右往左,自上而下:因为每个物品只能放一次,前面的体积小的会影响体积大的
(2)背包刚好装满
计算顺序是:从右往左,自上而下。注意初始值,其中-inf表示负无穷
完全背包:V=10,N=3,c[]={3,4,5}, w={4,5,6}
(1)背包不一定装满
计算顺序是:从左往右,自上而下: 每个物品可以放多次,前面的会影响后面的
(2)背包刚好装满
计算顺序是:从左往右,自上而下。注意初始值,其中-inf表示负无穷
多重背包:多重背包问题要求很简单,就是每件物品给出确定的件数,求可得到的最大价值
多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化,把它的件数C 用二进制分解成若干个件数的集合,这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数,而且不会重复,之所以叫二进制分解,是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释
比如:7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数,而且每种组合都会得到不同的数
15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四个数字
如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成 7以内任意一个数,即1、2、4可以组合为1——7内所有的数,加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13的数,比如12,可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了,基于这种思想去把多件物品转换为,多种一件物品,就可用01 背包求解了。
看代码:
定理:一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1(k是满足n-2^k+1>0的最大整数)的形式,且1~n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。
证明如下:
(1) 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n,所以若干元素的和的范围为:[1, n];
(2)如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示,这个很容易证明:我们把t的二进制表示写出来,很明显,t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^(k-1),其中ak=0或者1,表示t的第ak位二进制数为0或者1.
(3)如果t>=2^k,设s=n-2^k+1,则t-s<=2^k-1,因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式,进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1),s中某几个数的和(加数中一定含有s)的形式。
(证毕!)
现在用count 代替 n 就和01 背包问题完全一样了
杭电2191题解:此为多重背包用01和完全背包:
只是用01背包,用二进制优化:
未优化的:
- 【无限背包】背包问题
- 背包问题---01背包
- 背包问题--部分背包
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- 求助啊。。。。。这个真的写不来 。。。。。。。 前后台一起的 有源码的发一份看看 谢谢啦
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