面试题36：数组中的逆序对

题目：在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

例如在数组｛7, 5, 6, 4 中， 一共存在5 个逆序对，分别是（7, 6）、（7，5），(7, 4）、（6, 4）和（5, 4）。

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解题思路

第一种：直接求解

　　顺序扫描整个数组。每扫描到一个数字的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n 个数字。由于每个数字都要和O(n）个数字作比较， 因此这个算法的时间复杂度是O(n^2)。

第二种：分析法

　　我们以数组｛7, 5, 6, 4｝为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不能拿它和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。
　　
　　如图5 . 1 ( a )和图5.1 ( b）所示，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组， 再把这两个子数组分别拆分成两个长度为1 的子数组。接下来一边合并相邻的子数组， 一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1 的子数组｛7｝、｛5｝中7 大于5 ， 因此（7, 5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1 的子数组｛6｝、｛4｝中也有逆序对（6, 4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组排序（ 图5.1 ( c）所示），以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2 的子数组之间的逆序对。我们在图5.2 中细分图5.1 ( d）的合并子数组及统计逆序对的过程。
　　我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个子数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数（如图5.2 (a)和图5.2 (c)所示）。如果第一个数组中的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对（如图5.2 (b)所示〉。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从·后往前复制到一个辅助数组中去，确保辅助数组中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。
　　经过前面详细的诗论， 我们可以总结出统计逆序对的过程：先把数组分隔成子数组， 先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序贺，法很熟悉，我们不难发现这个排序的过程实际上就是归并排序。

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代码实现

package jianzhi;/** * 数组中的逆序对 * 归并排序 */public class Test36 {    private  int[] data;    private static int numberOfInversePairs = 0;    public Test36(int[] data) {        this.data = data;    }    public int getNumberOfInversePairsOfdata() {        if (data == null || data.length <= 0) {            throw new IllegalArgumentException("Invalid parameters");        }        int length = data.length;        int[] tmpArray = new int[data.length];        msort(data, 0, length - 1, tmpArray);        tmpArray = null;        return numberOfInversePairs;    }    private void msort(int a[], int first, int last, int temp[])    {        if (first < last)        {            int mid = (first + last) / 2;            msort(a, first, mid, temp);    //左边有序            msort(a, mid + 1, last, temp); //右边有序            mergeArray(a, first, mid, last, temp); //再将二个有序数列合并        }    }    private void mergeArray(int a[], int first, int mid, int last, int temp[])    {        int i = first, j = mid + 1;        int m = mid,   n = last;        int k = 0;        //合并两个升序排序的数组,从两个数组的尾部开始扫描(方便统计逆序对)        while (m >= i && n >= j)        {            if (a[m] > a[n]) {                temp[k++] = a[m--]; //逆序放在temp数组,元素在temp中是降序排列的                numberOfInversePairs = numberOfInversePairs + (n - j + 1);            } else                temp[k++] = a[n--];        }        while (m >= i)            temp[k++] = a[m--];        while (n >= j)            temp[k++] = a[n--];        for (i = 0; i < k; i++) //元素在temp中是降序排列的            a[first + i] = temp[k - i - 1];    }    public static void main(String[] args) {        System.out.println(new Test36(new int[]{7, 5, 6, 4}).getNumberOfInversePairsOfdata()); //9    }}