P2522 [HAOI2011]Problem b 莫比乌斯反演+除法优化

题目描述

　　对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
　　输入格式：　第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k
　　输出格式：　共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数
　　输入样例#1：
　　2
　　2 5 1 5 1
　　1 5 1 5 2
　　输出样例#1：
　　14
　　3
说明：100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000
洛谷传送门：https://daniu.luogu.org/problem/show?pid=2522

解题报告：

　　　　莫比乌斯反演之经典题，同时此题也体现了除法优化的优美。
　　　　题目要求：
　

∑i=ab∑j=cd[gcd(i,j)==k]

　　　我们先不去管a和c，先来研究这个（下面均设n小于m）：
　

∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)==k]

　 　我们设f(k)表示1≤i≤n&&1≤j≤m中满足gcd(i,j)==k的数对(i,j)的个数。显然f(k)很难直接求。
　 　接着我们设g(k)表示1≤i≤n&&1≤j≤m中满足k|gcd(i,j)的数对(i,j)的个数。我们很显然能够得出下面这个式子：
　 　

g(k)=∑i=1⌊nk⌋f(i∗k)=⌊nk⌋∗⌊mk⌋

　 　那么我们将f(k)和g(k)反演可得：
　 　

f(k)=∑d=1⌊nkμ(d)g(k∗d)=∑d=1⌊nkμ(d)∗⌊nk∗d⌋∗⌊mk∗d⌋

　 　优美的式子已经出来了，但如果直接这样算的话单次询问是 O(⌊nk⌋)的效率，只能拿70分。那么我们下面就要用到除法优化了。
　 　
　 　我们发现不管是⌊nk∗d⌋还是⌊mk∗d⌋，都有一大段相同的，这就可以让我们不去重复计算。除法优化的具体写法如下（你先需要求个μ(x)的前缀和）：
　
接着我们再回过头来看原式子，我们发现可以用容斥的方法得出答案，即：
答案=ans(b,d)-ans(a-1,d)-ans(c-1,b)+(a-1,c-1)
那么我们就解决了。

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int mu[50005],prime[50005];int size,n,a,b,c,d,k;bool notprime[50005];void init(){    mu[1]=1;notprime[1]=true;    for(int i=2;i<=50000;i++){        if(!notprime[i])             prime[++size]=i,mu[i]=-1;        for(int j=1,k;j<=size;j++){            k=prime[j]*i;             if(k>50000)break;            notprime[k]=true;            if(i%prime[j]==0){                mu[k]=0;                break;            }             else                 mu[k]=-mu[i];        }    }    for(int i=2;i<=50000;i++)mu[i]+=mu[i-1];}long long work(int x,int y){  //除法优化    x/=k,y/=k;    long long ans=0;    int i=1,j,lim=min(x,y);    while(i<=lim){        j=min(x/(x/i),y/(y/i));        ans+=(long long)(mu[j]-mu[i-1])*(long long)(x/i)*(y/i);        i=j+1;    }    return ans;}int main(){    scanf("%d",&n);    init();    for(int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);        printf("%lld\n",work(b,d)-work(a-1,d)-work(c-1,b)+work(a-1,c-1));    }    return 0;}