【学习小记】狄利克雷卷积+杜教筛
来源:互联网 发布:网络女主播闪现 编辑:程序博客网 时间:2024/06/07 05:16
Preface
这东西分明就是玄学暴力
用来求简单的数论函数的前缀和,像
当然,约数和,约数个数之类的也是可以的
Text
数论函数是指定义域是整数,陪域是复数的函数
Dirichlet 卷积
定义两个数论函数
它们的狄利克雷卷积表示
明显
显然它满足交换,结合律,甚至分配律
有常见的一些数论函数
约数个数,设为
约数和,设为
显然有以下常见的卷积形式
任意函数卷积单位元仍为它本身
d=1∗1 σ=id∗1
因为
所以
e=1∗μ
因为
所以
φ=μ∗id
因为
所以
id=φ∗1
杜教筛
考虑如何求
比如说
线筛会T
设
确定一个合适的数论函数
交换主体
那么
要使
因为
原式化为
可以用线筛预处理前
复杂度取决于预处理的多少
实验和理论都证明,预处理前
据说证明要用积分?然而我并不会。。。
对于求欧拉函数的前缀和,方法也是一样的,
前面的1改成
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