狄利克雷卷积
来源:互联网 发布:vb中left是什么意思 编辑:程序博客网 时间:2024/06/07 19:30
【狄利克雷卷积】
定义
f,g 两个函数的狄利克雷卷积(∗) 运算为:(f∗g)(n)=∑d|nf(d)g(nd) 狄利克雷卷积的性质:
- 交换律:
f∗g=g∗f - 结合律:
(f∗g)∗h=f∗(g∗h) - 分配率:
f∗(g+h)=f∗g+f∗h - 单位元:
f∗e=e∗f - 若
f,g 均为积性函数,则f∗g 也为积性函数。
- 交换律:
常见的狄利克雷卷积:
d(n)=∑d|n1即d=1∗1 σ(n)=∑d|nd即σ=d∗1 φ(n)=∑d|nμ(d)nd即φ=μ∗Id
证明:
因为Id(n)=∑i=1n∑j=1n[gcd(i,n)==j] 则Id(n)=∑j|n∑i=1⌊nj⌋[gcd(i,nj)==1] 那么Id(n)=∑j|nφ(nj)即Id=1∗φ 根据反演可得φ=μ∗Id ϵ(n)=∑d|nμ(d)即ϵ=μ∗1
证明:
令k表示n的不同的质因子数,可得∑d|nμ(d)=∑i=0k(−1)i(ki) 通过二项式展开可得(x+y)k=∑i=0kxiyk−i(ki)
将x=1,y=−1代入可得∑i=0k(−1)i(ki)=(1−1)k=0k 所以只有当k=0(即n=1)时,∑d|nμ(d)=1,否则∑d|nμ(d)=0 所以ϵ(n)=∑d|nμ(d)
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