NP-complete problems课后题

题目：

8.8 In the EXACT 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly four literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove that EXACT 4SAT is NP-complete.

解答：

首先很显然， EXACT 4SAT 属于 NP。现在通过将 3SAT 归约到 EXACT 4SAT 来证明后者的 NP 完全性。

对于任意一个 3SAT 实例，如果其中某个子句中包含了同一个文字多次，那么可以缩减为一次，如果同时包含了某个变量的肯定及否定，那么可以将这个变量去掉。然后，可以再在每个子句中可以添加一些没用的辅助变量，这样就可以将每个子句所包含的文字数目扩充到四个。

至此，即已将该3SAT 实例转化成了一个 EXACT 4SAT 问题。