Chapter8 NP-complete problems 课后习题8.3

8.3 证明吝啬SAT是NP-完全问题

吝啬SAT问题

给定一组字句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k个变量为true的满足赋值–如果该赋值存在。

SAT问题（可满足性问题）

SAT的一个实例：(x⋁y⋁z)(x⋁y¯)(y⋁z¯)(z⋁x¯)(x¯⋁y¯⋁z¯)，是一个采用合取范式的布尔公式。它由一组子句组成，每个子句都是多个文字的析取。SAT问题为，给定一个采取合取范式的布尔公式，为其找到一个可满足赋值或判定该赋值不存在。

NP完全问题

称一个搜索问题时NP-完全的，是指其他所有搜索问题都可以规约到它。一个问题要成为NP-完全的，它必须能用于解决世界上所有的搜索问题。

规约

如果问题A可以规约为问题B，则意味着如果我们知道如何高效求解B，也一定能高效求解A；如果知道A是难的，则规约将证明B也是难的。
如果将A规约为B记为：A→B，则可以说问题的难度沿着箭头方向流动，而高效的算法则反之。通过这种难度的传播，我们知道NP-完全问题是难的：其他所有搜索问题都可以规约到它们，因此NP-完全问题包含了所有搜索问题的难度。
一旦我们知道A是NP-完全的，则我们可以利用它来证明另一个新的问题B也是NP-完全的，仅需将A归约到B。同时这样的规约表明，借助A可以将任意NP-完全问题归约于B。

各种搜索问题的归约顺序

由此说明，这些问题都是NP-完全的。

证明

要证明吝啬SAT时NP-完全问题，首先证明吝啬SAT是NP问题，然后证明SAT是NP-完全问题，再将SAT归约成吝啬SAT。

所有NP问题都可以归约为SAT从（证明SAT是NP-完全问题）

将电路SAT归约为SAT

首先，所有的NP问题都可以归约为SAT的一个推广，所谓的电路可满足性问题（电路SAT）。SAT所要求的是一类具有较简单结构电路的可满足赋值，这类电路的特点说：在其顶端，一组与（AND）操作将所有子句联合起来，最终以这组与操作的联合结果为输出。每个子句都是其中文字的或（OR）操作。并且每个文字要么是一个未知的输入们，要么时其否定（NOT）。且其中不包含任何已知输入门。从另一个方面来看，电路SAT也可以被归约为SAT。我们可以将电路重写为合取范式（子句的与（AND）操作），为电路中的每个门生成一个变量g，并利用如下子句模仿门的效果：

证明所有搜索问题都能归约为电路SAT

假设A是一个NP问题，我们必须找到由A到电路SAT的一个归约。关于A，其任意解都能被快速检验，即存在算法C，以问题实例I和和可能解S为输入，判断S是否为I的解。此外C做出判断的时间关于I的长度为多项式规模的。
根据##7.7节（线性规划）##的结论，任意多项式算法都可以被表示为一个电路，其输入门将用于编码算法的输入。对任意长度（bit数）的输入，电路可以扩展出适当数量的输入门，但电路中门的总数关于输入数量时多项式规模的。如果问题的多项式时间算法给出一个是或否的答案（类似如下情形的C：S所编码信息的是否为I所编码实例的解），则该答案将由输出门给出。
总结一下，给定问题A的一个实例I，我们可以再多项式时间内构造一个电路，其已知输入为对应I对应的比特，未知输入为S对应的比特，则其最终输出为true当且仅当未知输入对应S为I的解。

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按照定义，当k==输入变量的总数时，吝啬SAT和SAT是等价的问题，SAT可以归约为吝啬SAT，又可以得知，吝啬SAT的解在多项式时间内是可以得到验证的。因此证明吝啬SAT是NP-完全问题。