算法--动态规划

来源《算法导论》

      Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。假定我们知道Serling公司出售一段长为i英寸的钢条的价格为p_i(i=1,2,…，单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。图15-1给出了一个价格表的样例。

      钢条切割问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p_i(i=1,2,…n)，求切割钢条方案，使得销售收益r_n最大。注意，如果长度为n英寸的钢条的价格p_n足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

解法1：自顶向下递归实现

将长度为n的钢条分解为左边开始的一段，以及剩余部分继续分解的结果。输入为数组p[0...n-1]和整数n，输出为n的钢条的最大收益。直接按照《算法导论》书上的算法该的C++程序实现代码如下：

#include<iostream>using namespace std; int cut_rod(int p[],int n) {     if(n==0) return 0;     int q = -10;     for(int i=0;i<n;i++)     {      q = max(q,p[i]+cut_rod(p,n-i-1));     }    return q; }int main(){cout << " rod length:"<< endl;int n;cin >> n;cout << "Input the price:";int *pRod = new int[n];for(int i = 0;i<n;++i)  cin >> pRod[i];cout << cut_rod(pRod,n) << endl;return 0;}

解法2：带备忘的自顶向下法

该方法依然按照自然的递归形式编写过程，但是过程中会保存每个子问题的解。当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。如果是，则直接返回保存的值，从而节省了计算时间；否则按照通常的方式计算这个子问题。

C++代码实现如下：

#include<iostream>#include<string.h>using namespace std;int memoizedCutRodAux(int p[],int n,int r[]);int memoizedCutRod(int p[],int n){     static int *r = new int[n];     memset(r,-1,4*n);     return memoizedCutRodAux(p,n,r);}int memoizedCutRodAux(int p[],int n,int r[]){    if(r[n-1] >=0) return r[n-1];    int q;    if(n == 0) q = 0;    else     {q = -1;for(int i=0;i<n;i++){    q = max(q,p[i]+memoizedCutRodAux(p,n-i-1,r));}    }    r[n-1] = q;    return q;}int main(){cout << " rod length:"<< endl;int n;cin >> n;cout << "Input the price:";int *pRod = new int[n];for(int i = 0;i<n;++i)  cin >> pRod[i];cout << memoizedCutRod(pRod,n) << endl;return 0;}

解法3：自顶向上法

这种方法需要恰当定义子问题“规模的概念”，使得任何子问题的求解都只依赖“更小的”子问题的求解。因而我们可以将子问题按规模排序，按由小到大的顺序进行求解。当求解某个子问题时，它所依赖的更小的子问题都已经求解完毕，结果已经保存。每个问题最需要求解一次，当我们求解它时，它的所有前提子问题都已求解完成。C++代码如下：

#include<iostream>#include<string.h>using namespace std;int bottomUpCutRod(int p[],int n){    int *r = new int[n+1];    r[0] = 0;    for(int j = 0;j < n;++j)    {int q = -1;for(int i =0;i <= j;++i){    q = max(q,p[i] + r[j-i]);}r[j+1] = q;    }    return r[n];}int main(){cout << " rod length:"<< endl;int n;cin >> n;cout << "Input the price:";int *pRod = new int[n];for(int i = 0;i<n;++i)  cin >> pRod[i];cout << bottomUpCutRod(pRod,n) << endl;return 0;}