jzoj. 1349. 最大公约数

Description

　　小菜的妹妹小诗就要读小学了！正所谓计算机要从娃娃抓起，小菜决定在幼儿园最后一段轻松的时间里教妹妹编程。
　　小菜刚教完gcd即最大公约数以后，一知半解的妹妹写了如下一段代码：
　　 sum:=0;
　　 for i:=1 to n-1 do
　　 for j:=i+1 to n do sum:=sum+gcd(i,j)

　　显然这个程序的效率是很低的，小明打算写一个更强的程序，在求出sum的同时比妹妹跑的更快。

Input

　　第一行一个整数t，即表示有t组数据
　　接下来t行，每行一个整数n

Output

　　t行，每行一个整数，表示n所对应的sum值

Sample Input

2
10
100

Sample Output

67
13015

Data Constraint

Hint

【数据规模】
　　20%数据t≤100,n≤100
　　40%数据t≤1000,n≤2000
　　100%数据t≤10000,n≤1000000

分析：
gcd(1,n)+gcd(2,n)+…+gcd(n−1,n)=∑i∗ϕ(n/i)I是n的因子
这个就是关键了，至于为什么，证明如下（by jzoj某大佬）：
首先，我们看一个类似的题目：
给出一个n，求 gcd(i,n);
我们可以先假设gcd(n,i)=k,
得:gcd(n/k,i/k)=1（两边同时除以k）
再假设x:=i/k
得:gcd(n/k,x)=1
则gcd(n,x∗k)=k
gcd(n,x∗k)=k k的取值是确定的，即n的所有因子，
所以满足gcd(n/k,x)=1中x的个数乘以k即为所有满足gcd(n,i)=k的和。
因此就转化为∑φ(n/k)∗k

而这道题只是将求i=1~n的gcd(n,i)变成求i=1~(j=1~n)的gcd(i,j)
我们可以设一个求和数组sum满足
sum(n)=sum(n−1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+…+gcd(n−1,n)
数组f[i]表示j=1~i的gcd(j,i)值，则
f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+…+gcd(n−1,n)= i∗φ(n/i)（i是n的因子）
于是我们预处理，一边筛素数，一边求φ。
最后就可以很快地搞出来。

代码：

var phi,sum,f:array [0..1000001] of int64; a:array [1..100001] of int64; t,n,m,i,j:longint;begin readln(t); for i:=1 to t do  begin   read(a[i]);   if a[i]>n then n:=a[i];  end; phi[1]:=1; for i:=2 to n do  begin   if phi[i]=0 then    begin     j:=i;     while j<=n do      begin       if (phi[j]=0) then phi[j]:=j;       phi[j]:=phi[j] div i*(i-1);       j:=j+i;      end;    end;  end; sum[1]:=0; for i:=1 to n do  begin   j:=i+i;   while j<=n do    begin      f[j]:=f[j]+i*phi[j div i];      j:=j+i;    end;  end;  sum[1]:=0; for i:=2 to n do  sum[i]:=sum[i-1]+f[i]; for i:=1 to t do  writeln(sum[a[i]]);end.