JZOJ 1349. 最大公约数 (Standard IO)

1349. 最大公约数 (Standard IO)

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Description

　　小菜的妹妹小诗就要读小学了！正所谓计算机要从娃娃抓起，小菜决定在幼儿园最后一段轻松的时间里教妹妹编程。
　　小菜刚教完gcd即最大公约数以后，一知半解的妹妹写了如下一段代码：
　　 sum:=0;
　　 for i:=1 to n-1 do
　　 for j:=i+1 to n do sum:=sum+gcd(i,j)

　　显然这个程序的效率是很低的，小明打算写一个更强的程序，在求出sum的同时比妹妹跑的更快。

Input

　　第一行一个整数t，即表示有t组数据
　　接下来t行，每行一个整数n

Output

　　t行，每行一个整数，表示n所对应的sum值

Sample Input

2
10
100

Sample Output

67
13015

Data Constraint

Hint

【数据规模】
　　20%数据t≤100,n≤100
　　40%数据t≤1000,n≤2000
　　100%数据t≤10000,n≤1000000

题解

看到了gcd，那就很明显是数论题

对这道题我们要求的是

∑i=1n−1∑j=i+1ngcd(i,j)

固定j，那么

∑i=1ngcd(i,n)

=∑i=1n∑d|n[gcd(i,n)==d]∗d

=∑i=1n∑d|n[gcd(id,nd)==1]∗d

=∑d|nφ(nd)∗d

因此，答案就是

∑i=2n∑j=1⌊n/i⌋φ(i)∗j

用前缀和优化一下
记ans[i∗j]=φ(i)∗j，答案就是

∑i=2nans[i]

代码

#include<cstdio>#define M 80000#define N 1000010#define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))long a[N],p[M],phi[N],t;long long ans[N];bool b[N];int main(){   long tot,n,i,j,k,maxx=0;    scanf("%ld",&tot);    for(i=1;i<=tot;i++){        scanf("%ld",&a[i]);        maxx=max(maxx,a[i]);    }    n=maxx;    phi[1]=1;    for(i=2;i<=n;i++){        if(!b[i]){            phi[i]=i-1;            p[++t]=i;        }        for(j=1;j<=t&&i*p[j]<=n;j++){            b[i*p[j]]=true;            if(i%p[j]==0){                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];                break;            }else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);        }    }    for(i=2;i<=n;i++)        for(j=1;j<=n/i;j++)            ans[i*j]+=phi[i]*j;    for(i=2;i<=n;i++)        ans[i]+=ans[i-1];    for(k=1;k<=tot;k++)        printf("%lld\n",ans[a[k]]);    return 0;}