数据结构：单源最短路径--Dijkstra算法

                           Dijkstra算法

单源最短路径

    给定一带权图，图中每条边的权值是非负的，代表着两顶点之间的距离。指定图中的一顶点为源点，找出源点到其它顶点的最短路径和其长度的问题，即是单源最短路径问题。

Dijkstra算法

    求解单源最短路径问题的常用方法是Dijkstra(迪杰斯特拉)算法。该算法使用的是贪心策略：每次都找出剩余顶点中与源点距离最近的一个顶点。

算法思想

    带权图G=<V,E>，令S为已确定了最短路径顶点的集合，则可用V-S表示剩余未确定最短路径顶点的集合。假设V0是源点，则初始 S={V0}。用数组Distance表示源点V0到其余顶点的路径长度，用数组pre[i]表示最短路径序列上顶点i的前一个顶点。初始时，pre[i]都是源点的下标。接下来需重复两个步骤：

1. 从当前Distance[i]找出最小的一个，记录其下标v=i，源点V0到顶点Vv的最短路径即已确定，把Vv加入S。
2. 更新源点到剩余顶点的最短路径长度。更新方法是：以上一步的顶点Vv为中间点，若Distance[v]+weight(v,i)<Distance[i]，则修改值：pre[i]=v;Distance[i]=Distance[v]+weight(v,i);

重复以上两个步骤，直至所有顶点的最短路径都已找到。
需要指出，Dijkstra算法求解的不仅是有向图，无向图也是可以的。下面给出一个完整的有向带权图的实例：

实例

有向带权图

Dijkstra算法的求解过程

其中，INF是infinity无穷大的意思。

代码

类定义

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1. #include<iostream>    
2. #include<iomanip>  
3. #include<stack>  
4. using namespace std;  
5. #define MAXWEIGHT 100  
6. #ifdef INFINITY  
7. #undef INFINITY  
8. #endif  
9. #define INFINITY 1000  
10. class Graph  
11. {  
12. private:  
13.     //顶点数    
14.     int numV;  
15.     //边数    
16.     int numE;  
17.     //邻接矩阵    
18.     int **matrix;  
19. public:  
20.     Graph(int numV);  
21.     //建图    
22.     void createGraph(int numE);  
23.     //析构方法    
24.     ~Graph();  
25.     //迪杰斯特拉算法  
26.     void Dijkstra(int);  
27.     //打印邻接矩阵    
28.     void printAdjacentMatrix();  
29.     //检查输入    
30.     bool check(int, int, int);  
31. };  

#include<iostream>  #include<iomanip>#include<stack>using namespace std;#define MAXWEIGHT 100#ifdef INFINITY#undef INFINITY#endif#define INFINITY 1000class Graph{private://顶点数  int numV;//边数  int numE;//邻接矩阵  int **matrix;public:Graph(int numV);//建图  void createGraph(int numE);//析构方法  ~Graph();//迪杰斯特拉算法void Dijkstra(int);//打印邻接矩阵  void printAdjacentMatrix();//检查输入  bool check(int, int, int);};

类实现

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print?

1. //构造函数，指定顶点数目  
2. Graph::Graph(int numV)  
3. {  
4.     //对输入的顶点数进行检测  
5.     while (numV <= 0)  
6.     {  
7.         cout << "顶点数有误！重新输入 ";  
8.         cin >> numV;  
9.     }  
10.     this->numV = numV;  
11.     //构建邻接矩阵，并初始化  
12.     matrix = new int*[numV];  
13.     int i, j;  
14.     for (i = 0; i < numV; i++)  
15.         matrix[i] = new int[numV];  
16.     for (i = 0; i < numV; i++)  
17.     for (j = 0; j < numV; j++)  
18.     {  
19.         if (i == j)  
20.             matrix[i][i] = 0;  
21.         else  
22.             matrix[i][j] = INFINITY;  
23.     }  
24. }  
25. void Graph::createGraph(int numE)  
26. {  
27.     /* 
28.     对输入的边数做检测 
29.     一个numV个顶点的有向图，最多有numV*(numV - 1)条边 
30.     */  
31.     while (numE < 0 || numE > numV*(numV - 1))  
32.     {  
33.         cout << "边数有问题！重新输入 ";  
34.         cin >> numE;  
35.     }  
36.     this->numE = numE;  
37.     int tail, head, weight, i;  
38.     i = 0;  
39.     cout << "输入每条边的起点(弧尾)、终点(弧头)和权值" << endl;  
40.     while (i < numE)  
41.     {  
42.         cin >> tail >> head >> weight;  
43.         while (!check(tail, head, weight))  
44.         {  
45.             cout << "输入的边不正确！请重新输入 " << endl;  
46.             cin >> tail >> head >> weight;  
47.         }  
48.         matrix[tail][head] = weight;  
49.         i++;  
50.     }  
51. }  
52. Graph::~Graph()  
53. {  
54.     int i;  
55.     for (i = 0; i < numV; i++)  
56.         delete[] matrix[i];  
57.     delete[]matrix;  
58. }  
59. /* 
60. 迪杰斯特拉算法 
61. 求指定顶点vertex到其它顶点的最短路径 
62. 不仅要得出最短路径长度，也要得到其序列 
63. */  
64. void Graph::Dijkstra(int vertex)  
65. {  
66.     int i;  
67.     //最短路径序列中每个顶点的直接前驱  
68.     int *pre = new int[numV];  
69.     for (i = 0; i < numV; i++)  
70.         pre[i] = vertex;  
71.     //顶点vertex到各个顶点的路径长度  
72.     int *Distance = new int[numV];  
73.     //初始化路径长度  
74.     for (i = 0; i < numV; i++)  
75.         Distance[i] = matrix[vertex][i];  
76.     //标记各个顶点最短路径找到与否  
77.     bool *find = new bool[numV];  
78.     memset(find, 0, numV);  
79.     find[vertex] = true;  
80.     int d, v, count;  
81.     count = 1, v = vertex;  
82.     while (count < numV)  
83.     {  
84.         d = INFINITY;  
85.         //确定一个最短距离  
86.         for (i = 0; i < numV; i++)  
87.         {  
88.             if (!find[i] && Distance[i] < d)  
89.             {  
90.                 d = Distance[i];  
91.                 v = i;  
92.             }  
93.         }  
94.         find[v] = true;  
95.         //更新剩余顶点的前驱和最短距离  
96.         for (i = 0; i < numV; i++)  
97.         {  
98.             if (!find[i])  
99.             {  
100.                 d = Distance[v] + matrix[v][i];  
101.                 if (d < Distance[i])  
102.                 {  
103.                     pre[i] = v;  
104.                     Distance[i] = d;  
105.                 }  
106.             }  
107.         }  
108.         count++;  
109.     }  
110.     //打印最短路径序列和其长度  
111.     stack<int> s;  
112.     for (i = 0; i < numV; i++)  
113.     {  
114.         if (Distance[i] == 0);  
115.         else if (Distance[i] == INFINITY)  
116.             cout << "顶点 " << vertex <<" 到顶点 " << i <<" 无路径！" << endl;  
117.         else  
118.         {  
119.             cout << "顶点 " << vertex << " 到顶点 " << i   
120.                  << " 最短路径长度是 " << Distance[i]   
121.                  << " ，其序列是...";  
122.             v = i;  
123.             s.push(v);  
124.             do  
125.             {  
126.                 v = pre[v];  
127.                 s.push(v);  
128.             } while (v!=vertex);  
129.             //打印最短路径序列  
130.             while (!s.empty())  
131.             {  
132.                 cout << setw(3) << s.top();  
133.                 s.pop();  
134.             }  
135.             cout << endl;  
136.         }  
137.     }  
138.     cout << endl;  
139.     delete[]find;  
140.     delete[]pre;  
141.     delete[]Distance;  
142. }  
143. //打印邻接矩阵    
144. void Graph::printAdjacentMatrix()  
145. {  
146.     int i, j;  
147.     cout.setf(ios::left);  
148.     cout << setw(7) << " ";  
149.     for (i = 0; i < numV; i++)  
150.         cout << setw(7) << i;  
151.     cout << endl;  
152.     for (i = 0; i < numV; i++)  
153.     {  
154.         cout << setw(7) << i;  
155.         for (j = 0; j < numV; j++)  
156.             cout << setw(7) << matrix[i][j];  
157.         cout << endl;  
158.     }  
159. }  
160. bool Graph::check(int tail, int head, int weight)  
161. {  
162.     if (tail < 0 || tail >= numV || head < 0 || head >= numV  
163.         || weight <= 0 || weight >= MAXWEIGHT)  
164.         return false;  
165.     return true;  
166. }  

//构造函数，指定顶点数目Graph::Graph(int numV){//对输入的顶点数进行检测while (numV <= 0){cout << "顶点数有误！重新输入 ";cin >> numV;}this->numV = numV;//构建邻接矩阵，并初始化matrix = new int*[numV];int i, j;for (i = 0; i < numV; i++)matrix[i] = new int[numV];for (i = 0; i < numV; i++)for (j = 0; j < numV; j++){if (i == j)matrix[i][i] = 0;elsematrix[i][j] = INFINITY;}}void Graph::createGraph(int numE){/*对输入的边数做检测一个numV个顶点的有向图，最多有numV*(numV - 1)条边*/while (numE < 0 || numE > numV*(numV - 1)){cout << "边数有问题！重新输入 ";cin >> numE;}this->numE = numE;int tail, head, weight, i;i = 0;cout << "输入每条边的起点(弧尾)、终点(弧头)和权值" << endl;while (i < numE){cin >> tail >> head >> weight;while (!check(tail, head, weight)){cout << "输入的边不正确！请重新输入 " << endl;cin >> tail >> head >> weight;}matrix[tail][head] = weight;i++;}}Graph::~Graph(){int i;for (i = 0; i < numV; i++)delete[] matrix[i];delete[]matrix;}/*迪杰斯特拉算法求指定顶点vertex到其它顶点的最短路径不仅要得出最短路径长度，也要得到其序列*/void Graph::Dijkstra(int vertex){int i;//最短路径序列中每个顶点的直接前驱int *pre = new int[numV];for (i = 0; i < numV; i++)pre[i] = vertex;//顶点vertex到各个顶点的路径长度int *Distance = new int[numV];//初始化路径长度for (i = 0; i < numV; i++)Distance[i] = matrix[vertex][i];//标记各个顶点最短路径找到与否bool *find = new bool[numV];memset(find, 0, numV);find[vertex] = true;int d, v, count;count = 1, v = vertex;while (count < numV){d = INFINITY;//确定一个最短距离for (i = 0; i < numV; i++){if (!find[i] && Distance[i] < d){d = Distance[i];v = i;}}find[v] = true;//更新剩余顶点的前驱和最短距离for (i = 0; i < numV; i++){if (!find[i]){d = Distance[v] + matrix[v][i];if (d < Distance[i]){pre[i] = v;Distance[i] = d;}}}count++;}//打印最短路径序列和其长度stack<int> s;for (i = 0; i < numV; i++){if (Distance[i] == 0);else if (Distance[i] == INFINITY)cout << "顶点 " << vertex <<" 到顶点 " << i <<" 无路径！" << endl;else{cout << "顶点 " << vertex << " 到顶点 " << i  << " 最短路径长度是 " << Distance[i]  << " ，其序列是...";v = i;s.push(v);do{v = pre[v];s.push(v);} while (v!=vertex);//打印最短路径序列while (!s.empty()){cout << setw(3) << s.top();s.pop();}cout << endl;}}cout << endl;delete[]find;delete[]pre;delete[]Distance;}//打印邻接矩阵  void Graph::printAdjacentMatrix(){int i, j;cout.setf(ios::left);cout << setw(7) << " ";for (i = 0; i < numV; i++)cout << setw(7) << i;cout << endl;for (i = 0; i < numV; i++){cout << setw(7) << i;for (j = 0; j < numV; j++)cout << setw(7) << matrix[i][j];cout << endl;}}bool Graph::check(int tail, int head, int weight){if (tail < 0 || tail >= numV || head < 0 || head >= numV|| weight <= 0 || weight >= MAXWEIGHT)return false;return true;}

主函数

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print?

1. int main()  
2. {  
3.     cout << "******Dijkstra***by David***" << endl;  
4.     int numV, numE;  
5.     cout << "建图..." << endl;  
6.     cout << "输入顶点数 ";  
7.     cin >> numV;  
8.     Graph graph(numV);  
9.     cout << "输入边数 ";  
10.     cin >> numE;  
11.     graph.createGraph(numE);  
12.     cout << endl << "Dijkstra..." << endl;  
13.     for (int i = 0; i < numV; i++)  
14.     graph.Dijkstra(i);  
15.     system("pause");  
16.     return 0;  
17. }  

int main(){cout << "******Dijkstra***by David***" << endl;int numV, numE;cout << "建图..." << endl;cout << "输入顶点数 ";cin >> numV;Graph graph(numV);cout << "输入边数 ";cin >> numE;graph.createGraph(numE);cout << endl << "Dijkstra..." << endl;for (int i = 0; i < numV; i++)graph.Dijkstra(i);system("pause");return 0;}

运行

完整代码下载：Dijkstra算法

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