NOIP 2014 Senior 6

思路 1
肯定一开始就能想到高精度吧。不过这个数据规模看上去有点非常大，而且需要写的有比较、负数、加法、乘法、乘方、高精度输入。。。反正比赛时我是不愿意相信会单独考这么一个高精度的。
听说能拿50分。

思路 2
加法和乘法以及乘方？嗯，以前遇到过的，这样的操作是符合模运算规则的。所以我们可以使用模运算，枚举除数，进行多次判断，如果都满足算出来等于0，那我们就可以说这个x代进去算出来应该是0，如果有任何一个都不满足，那我们说这个x代进去算肯定不是0。
所以选哪些作为除数呢？又要选多少呢？毫无疑问，这个除数必须是个质数。在一开始，我选择了10个较大质数，结果过了7个点：最后3个点因为m太大超时了。

这个思路还是有一些东西值得学（复）习的，比如：
（1）输入大整数
根据读入优化的思路写一波

bool readIn(char* str, int* l) //重载，返回是否为负数。我们保证str为空串。{    bool minus = false;    int& length = *l;    length = 0;    int ch = getchar();    while (!(ch == '-' || ch >= '0' && ch <= '9')) ch = getchar();    if (ch == '-')    {        minus = true;        ch = getchar();    }    while (ch >= '0' && ch <= '9')    {        str[length++] = ch - '0'; //就不保存字符了        ch = getchar();    }    return minus;}

（2）大整数求余
一个函数就解决，不要想到去写高精度除法= =。

INT Mod(int index, INT mod){    INT ret = 0;    for (int i = 0; i < length[index]; i++)    {        ret *= digit;        ret += origin[index][i]; //刚刚输入的字符串        ret %= mod;    }    if (minus[index])    {        ret = -ret;        ret += mod; //模运算法则    }    return ret % mod;}

（3）秦九韶算法
终于把它从数学书上搬过来了。。。

//for (int i = 0; i < size; i++) //预处理系数，将系数分别与那几个质数求余//{ //size为质数个数//  for(int j = 0; j <= n; j++)//  {//      A[i][j] = Mod(j, Prime[i]);//  }//}INT Polynomial(INT x, int modIndex){    INT ret = A[modIndex][n];    for (int i = n; i >= 1; i--)    {        ret *= x;        ret %= Prime[modIndex];        ret += A[modIndex][i - 1];        ret %= Prime[modIndex];    }    return ret;}

记不到？模拟几遍就写出来了，不多说。

主程序

    std::vector<int> ans;    for (int x = 1; x <= m; x++)    {        bool bOk = true;        for (int i = 0; i < size; i++)        {            if (Polynomial(x, i) != 0)            {                bOk = false;                break;            }        }        if (bOk)        {            ans.push_back(x);        }    }    printf("%d\n", ans.size());    for (int i = 0; i < ans.size(); i++)    {        printf("%d\n", ans[i]);    }

可以发现，即使在判断时有个break，它也不会起太大的作用，因为它最多只能加速一个数，这也是这个算法只能得70分的原因。

思路 3
如果我们确定了一个数可能是解，是否可以推算出其它数也可能是解呢？答案是肯定的。把多项式的和用秦九韶算法的形式写出来，发现当x加p后余上p的值不变，即若f(x)≡0(modp)，那么f(x+p)≡0(modp)。这时，我们可以仅枚举[1, p]，把所有符合条件的x的x + kp都标记成可能是解，然后用类似于筛法的思想，检查之前所有可能是解的值。
所以使用筛法时，应使用一个较小的（但不能太小）的质数，最后检查时，应使用较大的质数。具体要用多少个来检查呢？建议考试时多用几个来检查，保险一点。实测只需要用一个来筛，一个来检查就够了。

参考代码

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>#include <string>#include <stack>#include <queue>#include <deque>#include <map>#include <set>using std::cin;using std::cout;using std::endl;typedef long long INT;int readIn(){    bool minus = false;    int a = 0;    int ch = getchar();    while (!(ch == '-' || ch >= '0' && ch <= '9')) ch = getchar();    if (ch == '-')    {        minus = true;        ch = getchar();    }    while (ch >= '0' && ch <= '9')    {        a *= 10;        a += ch;        a -= '0';        ch = getchar();    }    if(minus) a = -a;    return a;}bool readIn(char* str, int* l){    bool minus = false;    int& length = *l;    length = 0;    int ch = getchar();    while (!(ch == '-' || ch >= '0' && ch <= '9')) ch = getchar();    if (ch == '-')    {        minus = true;        ch = getchar();    }    while (ch >= '0' && ch <= '9')    {        str[length++] = ch - '0';        ch = getchar();    }    return minus;}const int maxn = 105;int n, m;bool minus[maxn];int length[maxn];const INT digit = 10;char origin[maxn][10005];const INT Prime[] ={    10007, //用于快速求值    199999769 //用于准确判断};const int size = sizeof(Prime) / sizeof(INT);INT A[size][maxn];INT Mod(int index, INT mod){    INT ret = 0;    for (int i = 0; i < length[index]; i++)    {        ret *= digit;        ret += origin[index][i];        ret %= mod;    }    if (minus[index])    {        ret = -ret;        ret += mod;    }    return ret % mod;}INT Polynomial(INT x, int modIndex){    INT ret = A[modIndex][n];    for (int i = n; i >= 1; i--)    {        ret *= x;        ret %= Prime[modIndex];        ret += A[modIndex][i - 1];        ret %= Prime[modIndex];    }    return ret;}void run(){    n = readIn();    m = readIn();    for (int i = 0; i <= n; i++)    {        minus[i] = readIn(origin[i], &length[i]);    }    for (int i = 0; i < size; i++)    {        for(int j = 0; j <= n; j++)        {            A[i][j] = Mod(j, Prime[i]);        }    }    std::vector<bool> isAns(m + 1);    std::vector<int> ans;    for (int x = 1; x < Prime[0]; x++)    {        if (!Polynomial(x, 0))        {            for(int i = x; i <= m; i += Prime[0])            {                isAns[i] = true;            }        }    }    for (int x = 1; x <= m; x++)    {        if(isAns[x] && !Polynomial(x, 1))        {            ans.push_back(x);        }    }    printf("%d\n", ans.size());    for (int i = 0; i < ans.size(); i++)    {        printf("%d\n", ans[i]);    }}int main(){    run();    return 0;}

怎么得到素数呢？可以自己另写程序使用埃式筛法求得。所以，这道题还是算是有点数论的味道（勿喷）。

bool isntPrime[200000000];int from = readIn();int n = readIn();int to = sqrt(n);for(int i = 2; i <= to; i++){    if(!isntPrime[i])    {        for(int j = i * i; j <= n; j += i)        {            isntPrime[j] = true;        }    }}