同余基本定理的应用

mod同余的观点可以证明许多不存在性问题的：

例如x！=y 只需证明x,y关于某个数不同余

x不为完方数 x同余3 （mod 8）  同余2 （mod 3）

x不为立方数 1^3 同余1     2 8  3 0 41 5 8 6 0

a的立方同余0 +1 -1（mod 9）

定理的应用：威尔逊定理比较直白。

困难的是给出一个构造，一般的直接套结论。

一个比较典型的威尔逊定理的构造： p为4k+1型质数

prove   x^2同余-1（mod p）有解

prove：(p-1)!同余-1（mod p） 设p = 4k+1；

那么(p-1)! = 4k! = 1*2*3.......2k*（2k+1）........4k同余1*2*3......(-2k)(-2k-1).....(-1)

= 2k! 2k!*(-1)^2k

=(2k!)^2

欧拉定理

用于证明构造性的的东西和计算同余式

先要明白fai（n）如何计算

设n = p1^a1*p2^a2.....pm^am (a1.....am为正整数)

1~n中有多少个数与n互质，等价于1~n中有多少个数不被p1....pm乘除

fai（n） = n - n/p1 - n/p2 -.........n/pm + n/p1p2 + n/p1p3........  -n/p1p2p3...........                         (小学生容斥原理)

= n(1-1/p1)(1-1/p2).......(1-1/pm)

这个式子描述了1~n中恰好有(p1-1 ) / p1这么大比例的数不被p1整除

这(剩下)其中有恰有（p2-1）/p2..................p2..........

也可以用归纳法进行证明

于是可以用于计算

2^2000 被 3^7 除余几？.........

可用于一些构造

找k^fai(n) 同余 1（modfai（n））

prove:证明3^n的个个位数之和没有上界

或者prove 对于任意的正整数m 总可以找到3^n 里面出现了连续的m的0

这个证明不太困难

注意到（3,10^2m） = 1

所以3^fai(10^2m)同余 1 mod（fai（10^2m））

后2m位为0

第一个：若不然，设3^n0去到上界3^n0是一个不到n0位的数

注意考查方程3^n0+x同余3^n0(mod10^2*n0)

后2n0位完全相同而前面还有数，

这就证明了3^n0+x各个位置之和大于3^n0

而上式显然有解 矛盾！