【JZOJ2700】【GDKOI2012模拟02.01】数字

Description

Data Constraint

Solution

比赛时离正解就差一步……
我们打个表找找规律后发现：X*D(X)=i *i+9 *i *k，i∈[1,9]，那么对于一个询问，我们可以通过枚举i来确定k的最大值计算数量。对于询问[l,r]我们可以用[1,r]-[1,l-1]来解决。
问题来了：一个x*d(x)可能在不同的i中出现（如125*d(125)=1000*d(1000)）如何去重？
我们考虑

i∗i+9∗i∗k=j∗j+9∗j∗l

i∗i−j∗j=9∗(j∗l−i∗k)

找找规律找一下可能出现x*d(x)相同的i，j，一定满足i+j=9.

(i+j)∗(i−j)=9∗(j∗l−i∗k)

i−j=j∗l−i∗k

当l=k=-1时，这是一个解。那么我们现在要讨论ax+by=c的解的数量。
若满足

ax−by=c

a(x+bgcd(a,b))−b(y+agcd(a,b))=c

所以相邻连个x的姐之间间隔是b/gcd(a,b)。讨论减一下就好。

Code

#include<iostream>#include<cmath>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;const int maxn=1e7+5;ll test,n,m,i,t,j,k,l,x,y,z,ans; ll gcd(ll x,ll y){    ll r=x%y;    while (r) x=y,y=r,r=x%y;    return y;}int main(){//  freopen("data.in","r",stdin);    scanf("%lld",&test);    for (;test;test--){        scanf("%lld%lld",&m,&n);m--;ans=0;        for (i=1;i<=9;i++){            if (i*i>n) break;            t=(n-i*i)/(9*i)+1;            ans+=t;            if (i<=4 && (9-i)*(9-i)<=n){                k=(9-i)/gcd(i,9-i);                ans-=t/k;            }        }        for (i=1;i<=9;i++){            if (i*i>m) break;            t=(m-i*i)/(9*i)+1;            ans-=t;            if (i<=4 && (9-i)*(9-i)<=m){                k=(9-i)/gcd(i,9-i);                ans+=t/k;            }        }        printf("%lld\n",ans);    }}