区间DP，组合数学（Expression，HDU 5396）

dp[i][j]表示区间[i,j]的答案。

如果区间长度为len，那么这个区间的答案一定是经过len-1次操作得到的。

所以我们从长度为len的区间转移向长度为len+1的区间时，需要枚举一个符号，这个符号就是第len次操作使用的符号。每个符号求到的答案加起来就是这个区间的答案。

假设现在我们关注符号p。符号左边有a种情况，第i种为A[i]，符号右边有b种情况，第j种为B[j]。

如果符号p是加号或者减号，那么我们要的答案就是∑∑（A[i]±B[j]）=b∑A[i]±a∑B[j]。其中∑A[i]就是左边区间的答案，∑B[j]就是右边区间的答案，所以我们只要计算出a，b就可以转移了。如果一个区间的长度是len，即len-1个符号，那么这个区间的方案总数就是A（len-1，len-1），即(len-1)!。预处理出所有阶乘然后就可以O（1）计算a，b了。

还需要考虑的一点是，因为第len个使用的符号是p，那么p左边的符号和p右边的符号之前都是隔离开的，而且必须要有一个顺序。由于这两个区间的答案分别都已经包含了自己的顺序，但是两个区间之间的顺序却没有被计算过，因此答案还要再乘以c。c可以理解为len+1个两种元素的全排列，也可以理解为在len+1和位子中挑一些给左边，剩下的给右边。两种思路都可以计算出c。

如果符号p是乘号，那么我们要的答案就是∑∑（A[i]*B[j]）=∑A[i]*∑B[j]。即两边区间的答案直接乘起来。

这里同样需要乘以一个c。

希望自己以后可以思考清楚状态的定义，当前状态和子状态之间的关系。

比如在本题中，dp[i][j]代表区间[i,j]的答案。我们会枚举一个符号，然后连接左右连个子状态。

我们就应该想到，枚举的这个符号就是最后一次使用的符号，但是对之前的符号顺序并没有要求。

而我们在转移的过程中，使用到了子状态的结果，而子状态的结果是完全包含这个子状态的所有顺序的。

但是我们在将两个子状态结合在一起的时候，应该要考虑这两个子状态之间的顺序关系。

即要考虑清楚，本状态的顺序要求，子状态的顺序状况，本状态与子状态的顺序关系，子状态之间的顺序关系。

代码

#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<string.h>using namespace std;const int maxn = 110;const int mod = 1e9+7;int n;int a[maxn];int dp[maxn][maxn];char s[maxn];int pow2[maxn];int inv[maxn];int get(int a,char o,int b){    if(o=='+') return (1ll*a+b)%mod;    else if(o=='-') return (1ll*a-b+mod)%mod;    else return 1ll*a*b%mod;}void read(){    for(int i=0;i<n;i++)        scanf("%d",a+i);    scanf("%s",s);}int mp(int x,int n){    int ret=1;    while(n)    {        if(n&1) ret=1ll*ret*x%mod;        x=1ll*x*x%mod;        n>>=1;    }    return ret;}void solve(){    read();    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(int i=0;i<n;i++)        dp[i][i]=a[i];    for(int len=2;len<=n;len++)        for(int l=0;l<n-len+1;l++)        {            int r = l+len-1;            for(int p=l;p<r;p++)                if(s[p]=='*') dp[l][r]=(1ll*dp[l][r]+1ll*pow2[len-2]*inv[p-l]%mod*inv[r-p-1]%mod*get(dp[l][p],s[p],dp[p+1][r])%mod)%mod;                else dp[l][r]=(1ll*dp[l][r]+1ll*pow2[len-2]*inv[p-l]%mod*inv[r-p-1]%mod*get(1ll*pow2[r-p-1]*dp[l][p]%mod,s[p],1ll*pow2[p-l]*dp[p+1][r]%mod)%mod)%mod;            //printf("%d %d %d\n",l,r,dp[l][r]);        }    printf("%d\n",dp[0][n-1]);}void init(){    pow2[0]=1;    pow2[1]=1;    inv[0]=1;    inv[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++)    {        pow2[i]=1ll*pow2[i-1]*i%mod;        inv[i]=mp(pow2[i],mod-2);    }}int main(){    init();    while(~scanf("%d",&n)) solve();    return 0;}