07-17记录

差分约束系统：

• 觉得最重要的是建图，要考虑到所有的条件，特别是隐含的条件。
  
  • 如数轴上的点不重合考虑d[i]-d[i-1]>=1
  • 如果存在未知量，可以通过枚举来确定。枚举T=x时，记得加入T>=x和T<=x的限制。
• 对应考虑求解最短路或最长路。
• 利用一些常见技巧，如将数字整体右移避开-1的情况，或构图时设置超级源点反向建图。

参考博客：点这里

经典题1 poj3169

题意：数轴上n个点，给出两组约束条件，一组为a b c表示dis(a,b)<=c，另一组为dis(a,b)>=c。

计算是否存在这样的点的序列，若存在输出第一个点和最后一个点间的最大距离。
思路：d[i]表示第i个点所在的位置，这题数轴上的同个位置可以放置多个点，d[i]-d[i-1]>=0。
距离约束条件对应转化，d[a]-d[b]<=c，d[e]-d[f]>=g。
问题转化为求d[n]-d[1]<=ans，求ans，转化为最短路问题，记得判负环。
因为转化为最小值问题，条件整理构图：
d[i-1]-d[i]<=0 构建i->i-1 权值为0的边
d[a]-d[b]<=c 构建b->a 权值为c的边
d[e]-d[f]<=-g 构建f->e 权值为-g的边

#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<cmath>#include<vector>#include<map>#include<queue>#include<stack>#include<algorithm>#include<iostream>#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define pb push_back#define fi first#define se secondusing namespace std;typedef long long ll;const int N=1005;const ll INF=(1ll<<61);//---------------------struct edge {      int v,cost;      edge(int _v=0,int _cost=0):v(_v),cost(_cost) {}};vector<edge> es[N];void addEdge(int u,int v,ll w) {      es[u].pb(edge(v,w));}bool vis[N];ll dis[N];int cnt[N];//cnt 点入队的次数bool SPFA(int n,int s) {    memset(cnt,0,sizeof cnt);    memset(vis,false,sizeof vis);    for(int i=1;i<N;++i) dis[i]=INF;    vis[s]=true;    dis[s]=0;    queue<int> que;    que.push(s);    while(!que.empty()) {        int u=que.front(); que.pop();        int sz=es[u].size();        vis[u]=false;        for(int i=0;i<sz;++i) {            int v=es[u][i].v;            if(dis[u]+es[u][i].cost<dis[v]) {                dis[v]=dis[u]+es[u][i].cost;                if(vis[v]==false) {                    vis[v]=true;                    que.push(v);n                    if(++cnt[v]>n) return false;//存在负权环                }            }        }    }    return true;}int main() {    int n,ml,md,x,y;    ll c;    while(~scanf("%d%d%d",&n,&ml,&md)) {        for(int i=1;i<=n;++i) es[i].clear();        for(int i=1;i<=ml;++i) {            cin>>x>>y>>c;            addEdge(x,y,c);        }        for(int i=1;i<=md;++i) {            cin>>x>>y>>c;            addEdge(y,x,-c);        }        for(int i=2;i<=n;++i) {            addEdge(i,i-1,0ll);        }        if(!SPFA(n,1)) puts("-1");        else {            if(dis[n]==INF) puts("-2");            else cout<<dis[n]<<endl;        }    }    return 0;}

经典题2 poj1201
题意：一组n个约束条件。闭区间[a,b]，要求至少在区间内选择c个数，问至少得选多少的数才能满足所有的条件。
思路：a,b范围[0,50000]，将数整体+1。d[i]表示区间[1,i]内选择的数的个数，条件转化为d[b]-d[a-1]>=c。
！隐含条件：每个点最多只能选取一次，因此0<=d[i]-d[i-1]<=1。最终求解d[r]-d[l-1]>=ans。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<cmath>#include<vector>#include<map>#include<queue>#include<stack>#include<algorithm>#include<iostream>#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define pb push_back#define fi first#define se secondusing namespace std;typedef long long ll;const int N=50005;const int INF=0x3f3f3f;//---------------------struct edge {      int v,cost;      edge(int _v=0,int _cost=0):v(_v),cost(_cost) {}};vector<edge> es[N];void addEdge(int u,int v,ll w) {      es[u].pb(edge(v,w));}bool vis[N];int dis[N];void SPFA(int s) {    memset(vis,false,sizeof vis);    for(int i=1;i<N;++i) dis[i]=-INF;    vis[s]=true;    dis[s]=0;    queue<int> que;    que.push(s);    while(!que.empty()) {        int u=que.front(); que.pop();        int sz=es[u].size();        vis[u]=false;        for(int i=0;i<sz;++i) {            int v=es[u][i].v;            if(dis[u]+es[u][i].cost>dis[v]) {                dis[v]=dis[u]+es[u][i].cost;                if(vis[v]==false) {                    vis[v]=true;                    que.push(v);                }            }        }    }}int main() {    int n,a,b,c,r,l;    while(~scanf("%d",&n)) {        r=0,l=INF;        for(int i=1;i<=n;++i) {            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);            addEdge(a,b+1,c);            r=max(r,b+1);            l=min(l,a);        }        for(int i=2;i<=r;++i) {            addEdge(i-1,i,0);            addEdge(i,i-1,-1);        }        SPFA(l);        printf("%d\n",dis[r]);    }    return 0;}

好题 hdu3696
题意：n种产品，每种产品有单价和重量。给出一些产品转变条件，1单位的a产品可以转变为t单位的b产品，问卖出所有产品的最大收益。
思路：spfa求最长路。

• 最短/长路中的计算距离采用加法的形式，而产品转变为乘法的形式，以取对数的方式建图，贼妙。
• 反向建图，设置超级源点，从超级源点往n个产品引出权值为log(price[i])的边。最终得到每个产品的最大单价。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<cmath>#include<vector>#include<map>#include<queue>#include<stack>#include<algorithm>#include<iostream>#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define pb push_back#define fi first#define se secondusing namespace std;typedef long long ll;const int N=50005;const ll INF=1.0*(1ll<32);//---------------------struct edge {      int v;      double cost;      edge(int _v=0,double _cost=0.0):v(_v),cost(_cost) {}};vector<edge> es[N];void addEdge(int u,int v,double w) {      es[u].pb(edge(v,w));}bool vis[N];double dis[N];void SPFA(int s) {    memset(vis,false,sizeof vis);    for(int i=1;i<N;++i) dis[i]=-INF;    vis[s]=true;    dis[s]=0;    queue<int> que;    que.push(s);    while(!que.empty()) {        int u=que.front(); que.pop();        int sz=es[u].size();        vis[u]=false;        for(int i=0;i<sz;++i) {            int v=es[u][i].v;            if(dis[u]+es[u][i].cost>dis[v]) {                dis[v]=dis[u]+es[u][i].cost;                if(vis[v]==false) {                    vis[v]=true;                    que.push(v);                }            }        }    }}double pri[N],w[N];int main() {    int n,m,k;    while(~scanf("%d",&n)) {        if(!n) break;        for(int i=0;i<=n;++i) es[i].clear();        for(int i=1;i<=n;++i) {            scanf("%lf%lf",&pri[i],&w[i]);        }        scanf("%d",&m);        int last,b;        double a;        for(int i=1;i<=m;++i) {            scanf("%d",&k);            scanf("%d",&last);            for(int j=1;j<k;++j) {                scanf("%lf%d",&a,&b);                addEdge(b,last,log(a));                last=b;            }        }        for(int i=1;i<=n;++i) {            addEdge(0,i,log(pri[i]));        }        SPFA(0);        double ans=0;        for(int i=1;i<=n;++i) {            if(pri[i]<exp(dis[i])) pri[i]=exp(dis[i]);            ans+=1.0*pri[i]*w[i];        }        printf("%.2f\n",ans);    }    return 0;}

好题 hdu1529
思路：涉及到未知量时采用枚举的方式确定未知量建图。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<cmath>#include<vector>#include<map>#include<queue>#include<stack>#include<algorithm>#include<iostream>#define pii pair<int,int>#define mp make_pair#define pb push_back#define fi first#define se secondusing namespace std;typedef long long ll;const int N=35;const int INF=0x3f3f3f;//---------------------struct edge {      int v,cost;      edge(int _v=0,int _cost=0):v(_v),cost(_cost) {}};vector<edge> es[N];void addEdge(int u,int v,int w) {      es[u].pb(edge(v,w));}bool vis[N];int dis[N],b[N],need[N],cnt[N];bool SPFA(int n,int s) {    memset(vis,false,sizeof vis);    memset(cnt,0,sizeof cnt);    for(int i=0;i<N;++i) dis[i]=-INF;    vis[s]=true;    dis[s]=0;    queue<int> que;    que.push(s);    while(!que.empty()) {        int u=que.front(); que.pop();        int sz=es[u].size();        vis[u]=false;        for(int i=0;i<sz;++i) {            int v=es[u][i].v;            if(dis[u]+es[u][i].cost>dis[v]) {                dis[v]=dis[u]+es[u][i].cost;                if(vis[v]==false) {                    vis[v]=true;                    que.push(v);                    if(++cnt[v]>n) return false;                }            }        }    }    return true;}bool solve(int x) {        for(int i=0;i<N;++i) es[i].clear();        for(int i=1;i<=24;++i) {            addEdge(i,i-1,-b[i]);            addEdge(i-1,i,0);        }        for(int i=8;i<=24;++i) {            addEdge(i-8,i,need[i]);        }        for(int i=0;i<8;++i) {            addEdge(i+16,i,need[i]-x);        }        addEdge(0,24,x);addEdge(24,0,-x);        return SPFA(24,0);}int main() {    int T,n,x;scanf("%d",&T);    while(T--) {        memset(b,0,sizeof b);        for(int i=0;i<N;++i) es[i].clear();        for(int i=1;i<=24;++i) {            scanf("%d",&need[i]);        }        scanf("%d",&n);        for(int i=1;i<=n;++i) {            scanf("%d",&x);            ++b[x+1];        }        solve(0);        //枚举        int l=0,r=n,ans=-1;        while(l<=r) {            int mid=(l+r)>>1;            if(solve(mid)) {                ans=mid,r=mid-1;            } else l=mid+1;        }        if(ans==-1) puts("No Solution");        else printf("%d\n",ans);    }    return 0;}