大数乘法

大数乘法是一个经常会遇到的问题，在Java中这个问题很容易解决，直接用BigInteger就okl了。但是在C++、C中就不那么容易了，在做LeetCode过程中就遇到了这道题，第43题“Multiply Strings”：https://leetcode.com/problems/multiply-strings/#/description。 我在网上查了一下，也看了LeetCode上的discussion，大致总结三种方法：普通进位法，分治法，傅里叶变换法（FFT）。

一 ：普通进位法
很多人先把string反转过来，再做模拟乘法的操作，因为string中第一位对应数值的最高位，当然不倒转也可以。 这个方法很好理解，代码量也很少。时间复杂度是O(n^2)，我在discussion上看到大神写的代码十分漂亮，就记下来了，以后求职笔试过程中遇到以便能默写出来。

string Mutiply(string num1, string num2){    string sum(num1.length() + num2.length() + 1, '0');    int carry; //进位     int tmp;    for(int i=num1.length()-1; i>=0; i--){       for(int j=num2.length()-1; j>=0; j--){           tmp = sum[i+j+1]-'0' + (num1[i]-'0') * (num2[j]-'0') + carry;           sum[i+j+1] = tmp % 10;           carry = tmp / 10;       }//for        sum[i] = carry;     }//for     size_t pos = sum.find_first_not_of("0");     if(string::npos != pos)        return sum.substr(pos);     else return "0";}

二： 分治法
http://cnn237111.blog.51cto.com/2359144/1201901

#include <iostream> #include <sstream> #include <string> using namespace std; //string类型转换成int类型int string_to_num(string k)//string字符串变整数型例如str="1234"，转换为整数的1234. {     int back;     stringstream instr(k);     instr>>back;     return back; }  //整形数转换为string类型string num_to_string(int intValue){    string result;    stringstream stream;    stream << intValue;//将int输入流    stream >> result;//从stream中抽取前面放入的int值    return result;}//在字符串str前添加s个零string stringBeforeZero(string str,int s){    for(int i=0;i<s;i++)        str.insert(0,"0");    return str;}//两个大整数字符串相加，超出计算机表示范围的数也能实现相加(本函数可以实现大整数加法运算)string stringAddstring(string str1,string str2){    //假定str1和str2是相等的长度，不相等时在前面自动补零，使两个字符串长度相等    if (str1.size() > str2.size())         str2 = stringBeforeZero(str2,str1.size() - str2.size());    else if (str1.size() < str2.size())         str1 = stringBeforeZero(str1,str2.size() - str1.size());    string result;    int flag=0;//前一进位是否有标志,0代表无进位，1代表有进位    for(int i=str1.size()-1;i>=0;i--)    {        int c = (str1[i] - '0') + (str2[i] - '0') + flag;//利用ASCII码对字符进行运算,这里加上flag代表的是:当前一位有进位时加1，无进位时加0        flag = c/10;//c大于10时，flag置为1，否则为0        c %= 10;//c大于10时取模，否则为其本身        result.insert(0,num_to_string(c));//在result字符串最前端插入新生成的单个字符    }    if (0 != flag) //最后一为(最高位)判断，如果有进位则再添一位        result.insert(0,num_to_string(flag));    return result;}/*两个大整数字符串相减，超出计算机表示范围的数也能实现相减(在这里比较特殊，第一个参数一定大于第二个参数,因为：a1*b0+a0*b1=(a1+a0)*(b1+b0)-(a1*b1+a0*b0) > 0 ,所以(a1+a0)*(b1+b0) > (a1*b1+a0*b0)这个函数的两个参数，第一个代表的其实就是(a1+a0)*(b1+b0)，第二个代表的其实就是(a1*b1+a0*b0)所以本函数里不用考虑最终得到结果为负数的情况，至于计算有关大整数负数相乘的问题可以通过其他途径判断*/string stringSubtractstring(string str1,string str2){    //对传进来的两个数进行修剪，如果前面几位有0则先去掉，便于统一处理    while ('0' == str1[0]&&str1.size()>1)        str1=str1.substr(1,str1.size()-1);    while ('0' == str2[0]&&str2.size()>1)        str2=str2.substr(1,str2.size()-1);    //使两个字符串长度相等    if (str1.size() > str2.size())         str2 = stringBeforeZero(str2,str1.size() - str2.size());    string result;    for(int i=str1.size()-1;i>=0;i--)    {        int c = (str1[i] - '0') - (str2[i] - '0');//利用ASCII码进行各位减法运算        if (c < 0) //当不够减时向前一位借位，前一位也不够位时再向前一位借位，依次如下        {            c +=10;            int prePos = i-1;             char preChar = str1[prePos];            while ('0' == preChar)             {                str1[prePos]='9';                prePos -= 1;                preChar = str1[prePos];            }            str1[prePos]-=1;        }        result.insert(0,num_to_string(c));//在result字符串最前端插入新生成的单个字符    }    return result;}//在字符串str后跟随s个零string stringFollowZero(string str,int s){    for(int i=0;i<s;i++)        str.insert(str.size(),"0");    return str;}//分治法大整数乘法实现函数string IntMult(string x,string y)//递归函数{     //对传进来的第一个数进行修剪，如果前面几位有0则先去掉，便于统一处理    while ('0' == x[0]&&x.size()>1)        x=x.substr(1,x.size()-1);    //对传进来的第二个数进行修剪，如果前面几位有0则先去掉，便于统一处理    while ('0' == y[0]&&y.size()>1)        y=y.substr(1,y.size()-1);    /*这里的f变量代表在两个数据字符串长度不想等或者不是2的指数倍的情况下，所要统一的长度，这样做是为了让数据长度为2的n次方的情况下便于利用分治法处理*/    int f=4;    /*当两字符串中有任意一个字符串长度大于2时都要通过与上面定义的f值进行比较，使其达到数据长度为2的n次方，实现方式是在前面补0，这样可以保证数据值大小不变*/    if (x.size()>2 || y.size()>2)     {        if (x.size() >= y.size()) //第一个数长度大于等于第二个数长度的情况        {            while (x.size()>f) //判断f值                f*=2;            if (x.size() != f)             {                x = stringBeforeZero(x,f-x.size());                y = stringBeforeZero(y,f-y.size());            }        }else//第二个数长度大于第一个数长度的情况        {            while (y.size()>f) //判断f值                f*=2;            if (y.size() != f)             {                x = stringBeforeZero(x,f-x.size());                y = stringBeforeZero(y,f-y.size());            }        }    }    if (1 == x.size()) //数据长度为1时,在前面补一个0(这里之所以会出现长度为1的数据是因为前面对数据修剪过)        x=stringBeforeZero(x,1);    if (1 == y.size()) //数据长度为1时,在前面补一个0(这里之所以会出现长度为1的数据是因为前面对数据修剪过)        y=stringBeforeZero(y,1);    if (x.size() > y.size()) //最后一次对数据校正，确保两个数据长度统一        y = stringBeforeZero(y,x.size()-y.size());    if (x.size() < y.size()) //最后一次对数据校正，确保两个数据长度统一        x = stringBeforeZero(x,y.size()-x.size());    int s = x.size();     string a1,a0,b1,b0;     if( s > 1)     {         a1 = x.substr(0,s/2);         a0 = x.substr(s/2,s-1);         b1 = y.substr(0,s/2);            b0 = y.substr(s/2,s-1);     }     string result;    if( s == 2) //长度为2时代表着递归的结束条件    {         int na = string_to_num(a1);         int nb = string_to_num(a0);          int nc = string_to_num(b1);         int nd = string_to_num(b0);        result = num_to_string((na*10+nb) * (nc*10+nd));     }     else{ //长度不为2时利用分治法进行递归运算        /***************************************************        小提示:        c = a*b = c2*(10^n) + c1*(10^(n/2)) + c0;        a = a1a0 = a1*(10^(n/2)) + a0;        b = b1b0 = b1*(10^(n/2)) + b0;        c2 = a1*b1;  c0 = a0*b0;        c1 = (a1 + a0)*(b1 + b0)-(c2 + c0);        ****************************************************/        string c2 = IntMult(a1,b1);// (a1 * b1)        string c0 = IntMult(a0,b0);// (a0 * b0)        string c1_1 = stringAddstring(a1,a0);// (a1 + a0)        string c1_2 = stringAddstring(b1,b0);// (b1 + b0)        string c1_3 = IntMult(c1_1,c1_2);// (a1 + a0)*(b1 + b0)        string c1_4 = stringAddstring(c2,c0);// (c2 + c0)        string c1=stringSubtractstring(c1_3,c1_4);// (a1 + a0)*(b1 + b0)-(c2 + c0)        string s1=stringFollowZero(c1,s/2);// c1*(10^(n/2))        string s2=stringFollowZero(c2,s);// c2*(10^n)        result = stringAddstring(stringAddstring(s2,s1),c0);// c2*(10^n) + c1*(10^(n/2)) + c0    }     return result; } void main() {     int f=1;    while (1 == f)    {    string A,B,C,D;     string num1,num2;     string r;    cout<<"大整数乘法运算(分治法实现)"<<endl;    cout<<"请输入第一个大整数(任意长度):";    cin>>num1;    int i=0;    //判断第一个输入的数据是否合法,当字符串中包含非数字字符时提示用户重新输入    for(i=0 ;i < num1.size();i++)    {        if (num1[i]<'0' || num1[i]>'9')         {            cout<<"您输入的数据不合法,请输入有效的整数!"<<endl;            cin>>num1;            i=-1;        }    }    cout<<"请输入第二个大整数(任意长度):";    cin>>num2;    //判断第二个输入的数据是否合法,当字符串中包含非数字字符时提示用户重新输入    for(i=0 ;i < num2.size();i++)    {        if (num2[i]<'0' || num2[i]>'9')             {            cout<<"您输入的数据不合法,请输入有效的整数!"<<endl;            cin>>num2            i=-1;        }    }    r=IntMult(num1,num2);     //对求得的结果进行修剪，去掉最前面的几个0    while ('0' == r[0]&&r.size()>1)    {        r=r.substr(1,r.size()-1);    }    cout<<"两数相乘结果为:"<<endl;    cout<<num1<<" "<<"*"<<" "<<num2<<" "<<"="<<" "<<r<<endl<<endl;         }}

三： FFT算法

#include <iostream>  #include <cmath>  #include <complex>  #include <cstring>  using namespace std;  const double PI = acos(-1);typedef complex<double> cp;  typedef long long int64;  const int N = 1 << 16;  int64 a[N], b[N], c[N << 1];  void bit_reverse_copy(cp a[], int n, cp b[])  {      int i, j, k, u, m;      for (u = 1, m = 0; u < n; u <<= 1, ++m);      for (i = 0; i < n; ++i)      {          j = i; k = 0;          for (u = 0; u < m; ++u, j >>= 1)              k = (k << 1) | (j & 1);          b[k] = a[i];      }  }  void FFT(cp _x[], int n, bool flag)  {      static cp x[N << 1];      bit_reverse_copy(_x, n, x);      int i, j, k, kk, p, m;      for (i = 1, m = 0; i < n; i <<= 1, ++m);      double alpha = 2 * PI;      if (flag) alpha = -alpha;      for (i = 0, k = 2; i < m; ++i, k <<= 1)      {          cp wn = cp(cos(alpha / k), sin(alpha / k));          for (j = 0; j < n; j += k)          {              cp w = 1, u, t;              kk = k >> 1;              for (p = 0; p < kk; ++p)              {                  t = w * x[j + p + kk];                  u = x[j + p];                  x[j + p] = u + t;                  x[j + p + kk] = u - t;                  w *= wn;              }          }      }      memcpy(_x, x, sizeof(cp) * n);  }  void polynomial_multiply(int64 a[], int na, int64 b[], int nb, int64 c[], int &nc)  {      int i, n;      i = max(na, nb) << 1;      for (n = 1; n < i; n <<= 1);      static cp x[N << 1], y[N << 1];      for (i = 0; i < na; ++i) x[i] = a[i];      for (; i < n; ++i) x[i] = 0;      FFT(x, n, 0);      for (i = 0; i < nb; ++i) y[i] = b[i];      for (; i < n; ++i) y[i] = 0;      FFT(y, n, 0);      for (i = 0; i < n; ++i) x[i] *= y[i];      FFT(x, n, 1);      for (i = 0; i < n; ++i)       {          c[i] =(int64)(x[i].real() / n + 0.5);    }      for (nc = na + nb - 1; nc > 1 && !c[nc - 1]; --nc);  }  const int LEN = 5, MOD = 100000;  void convert(char *s, int64 a[], int &n)  {      int len = strlen(s), i, j, k;      for (n = 0, i = len - LEN; i >= 0; i -= LEN)      {          for (j = k = 0; j < LEN; ++j)              k = k * 10 + (s[i + j] - '0');          a[n++] = k;      }      i += LEN;      if (i)      {          for (j = k = 0; j < i; ++j)              k = k * 10 + (s[j] - '0');          a[n++] = k;      }  }  void print(int64 a[], int n)  {      printf("%I64d", a[--n]);      while (n) printf("%05I64d", a[--n]);      puts("");  }  char buf[N + 10];  int main()  {      int na, nb, nc;      while (scanf("%s", buf) != EOF)      {          bool sign = false;          if (buf[0] == '-')          {              sign = !sign;               convert(buf + 1, a, na);          }          else convert(buf, a, na);          scanf("%s", buf);          if (buf[0] == '-')          {              sign = !sign;              convert(buf + 1, b, nb);          }          else convert(buf, b, nb);          polynomial_multiply(a, na, b, nb, c, nc);          int64 t1, t2;          t1 = 0;          for (int i = 0; i < nc; ++i)          {              t2 = t1 + c[i];              c[i] = t2 % MOD;              t1 = t2 / MOD;          }          for (; t1; t1 /= MOD) c[nc++] = t1 % MOD;          if (sign) putchar('-');          print(c, nc);      }      return 0;  }