RNN网络结构及公式推导

RNN结构如图所示：

Xt∈Rx表示t时刻的输入(Xt是多少维，则这一层有多少个神经元，这里设为x维，图中画的是3维）

ht∈Rh表示t时刻隐层的输出(假设这一层有h个神经元）

yt∈Ry表示t时刻的预测输出
dt∈Ry表示t时刻的期望输出
V∈Rx×h表示从输入层到隐层的权值矩阵
U∈Rh×h表示上一个时刻到这个时刻的权值矩阵
bh∈Rh表示隐层的偏置，其中每一项对应某一神经元的偏置项
W∈Rh×y表示隐层到输出层的权值矩阵
by∈Ry表示输出层的偏置项

正向传播过程：
Xti表示t时刻某个样本第i维的输入，即输入层第i个神经元的输入
t时刻隐层第j个神经元的输入：cthj=∑xi=1XtiVij+∑hs=1ht−1sUsj+bhj
t时刻隐层第j个神经元的输出:htj=f(chj)
t时刻输出层第k个神经元的输入:ctyk=∑hj=1htjWjk+byk
t时刻输出层第k个神经元的输出：ytj=g(cyk)

矩阵表示(只有一个样本的情况）:
t时刻隐层的输入，h*1向量，cth=VTXt+UTht−1+bh
t时刻隐层的输出，h*1向量，ht=f(cth)
t时刻输出层的输入，y*1向量，cty=WTht+by
t时刻输出层的输出，y*1向量，yt=g(cty)

反向求导过程：
假设共有p个样本，则t时刻的误差可以定义为：Et=∑p12∥dt−yt∥2,整个网络的误差为E=∑tEt=12∑p∑Tt=1∥dt−yt∥2,

∂E∂W=∑Tt=1∂E∂yt∂yt∂W

∂E∂yt=−(dt−yt)

∂yt∂W=∂yt∂cty∂cty∂W=g′(cty)ht

所以∂E∂W=−∑Tt=1(dt−yt)g′(cty)ht

∂E∂U=∑Tt=1∂E∂ht∂ht∂U，∂E∂V=∑Tt=1∂E∂ht∂ht∂V

由于ht一方面输到yt，一方面输到ht+1,所以它的误差来自两方面：

∂E∂ht=∂E∂yt∂yt∂ht+∂E∂ht+1∂ht+1∂ht=∂E∂yt∂yt∂cty∂cty∂ht+∂E∂ht+1∂ht+1∂ct+1h∂ct+1h∂ht=∂E∂ytg′(cty)W+∂E∂ht+1f′(ct+1h)U

∂ht∂U=∂ht∂cth∂cth∂U=f′(cth)ht−1，∂ht∂V=∂ht∂cth∂cth∂V=f′(cth)Xt

所以

∂E∂U=∑Tt=1[∂E∂ytg′(cty)W+∂E∂ht+1f′(ct+1h)U]f′(cth)ht−1

∂E∂V=∑Tt=1[∂E∂ytg′(cty)W+∂E∂ht+1f′(ct+1h)U]f′(cth)Xt

∂E∂by=∑Tt=1∂E∂yt∂yt∂cty∂cty∂by=−∑Tt=1(dt−yt)g′(cty)

∂E∂bh=∑Tt=1∂E∂ht∂ht∂cth∂cth∂bh=∑Tt=1[∂E∂ytg′(cty)W+∂E∂ht+1f′(ct+1h)U]f′(cth)