《算法》-3.3平衡查找树（1）

3.3 平衡查找树

      理想情况下如何保持二叉树的平衡？这里引入平衡查找树。

3.3.1  2-3查找树

2-3查找树定义：

       2-节点，含有一个键（及其对应值）和两条链接，左链接指向的节点的键小于该节点，右链接指向的节点的键大于该节点；

       3-节点，含有两个键（及其对应值）和三条链接，左链接指向的节点的键都小于该节点，中链接指向的节点的键介于节点的两个键之间，右链接指向的节点的键都大于该节点；

       指向一棵空树的链接成为空链接；

3.3.1.1 查找

      将二叉树的查找算法一般化：向将要查找的节点与根节点比较，如果和任意一个相等则命中，否则根据比较结果到相应的链接(左、中、右)查找，并在其指向的子树中查找；直到最后找到空连接，则查找未命中。

3.3.1.2 向2-节点中插入新键

       先进行一次未命中查找，找到新结点将要插入的位置（某一个叶子节点的底部）；

       该叶子节点是2-节点，直接将该2-节点变成一个新的含有新建的3-节点

3.3.1.3向一课只含有一个3-节点的树中插入新键

       先进行一次未命中查找，找到新结点将要插入的位置；

       将该3-节点变成一个含新键的4-节点（左键、中键、右键）；

       将4-节点分解成3个2-节点：中键节点的左链接指向左键节点，右链接指向右键节点；

3.3.1.4向一个父节点为2-节点的3-节点中插入新键

       先进行一次未命中查找，找到新结点将要插入的位置；

      将3-节点变成4-节点；

      将中键节点加入到父节点2-节点中，变成3-节点，中链接指向左键节点，右链接指向右键节点；

    （插入后所有空连接到根节点的距离仍然相同，树仍完美平衡；）

3.3.1.5向一个父节点为3-节点的3-节点中插入新键

     先进行一次未命中查找，找到新结点将要插入的位置（一个3-节点）；

     将要插入位置的3-节点变成4-节点；

     再用这个中间向上（父节点）构造临时的4-节点，并变换链接；

     再分解这个父节点，将它的中键插入到它的父节点中，直到遇到一个2-节点并将它替换为一个不需要继续分解的3-节点，或者达到根（根变为3-节点）。

3.3.1.6分解根节点

    如果从插入节点到根节点，一路都是3-节点，那么根节点最后变为4-节点，这时要对根节点进行分解；

    将根节点分解为3个2-节点，树高加1；

3.3.1.7局部变换

       将4-节点分解为一颗2-3树有6中情况：

     1） 根节是3-节点

     2） 父节点是2-节点，左链接指向4-节点

     3） 父节点是2-节点，右链接指向4-节点

     4） 父节点是3-节点，左链接指向4-节点

     5） 父节点是3-节点，中链接指向4-节点

     6） 父节点是3-节点，右链接指向4-节点

3.3.1.8全局性质

       上述局部变换不影响树的有序性和平衡性；

       变换前根节点到所有空连接的路径长度为h，变换后该长度仍然是h；

       只有当根节点被分为3个2-节点时，所有空连接到根节点的路径长度才会加1；