bzoj 1009: [HNOI2008]GT考试（dp+kmp+矩阵快速幂）

1009: [HNOI2008]GT考试

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Description

　　阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0

Input

　　第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100

111

Sample Output

81

如果n很小的话，显然直接dp就好了

dp[i][j]表示身份证号的前i个数，最后j个数和不吉利数的前j位相同的合法情况数

不过注意这里的j一定是要是最长前缀

例如不吉利数2351237,  当前身份证前9个数是888235123，那么这属于dp[9][6]而不是dp[9][2]

那么怎么转移呢

很好想到dp[i][j] = dp[i][j-1]，但仍然不一定

还是不吉利数2351237，dp[i][3] = dp[i-1][2]+dp[i-1][6]，为什么还要加个dp[i-1][6]呢？

因为235123后面接5之后变为2351235，原本能匹配长度为6的前缀，加上5之后刚好只能匹配长度为3的前缀了

而吉利数是2351235的话就不能加了，因为dp[i-1][6]后面接个5应该算在dp[i-1][7]中（可以匹配长度为7的前缀）！

所以dp[i][j] = ∑(dp[i-1][k]*p[k][j])  (0<=k<=m-1)

其中p[k][j]表示不吉利数前k个字符加上某个字符后最多能匹配不吉利数的前j个字符，问有多少种可添加字符

比如不吉利数2351237，p[6][3]==1因为235123后面接个5变为2351235，最多能匹配前三个字符235，

p[1][0]==8，因为2后面只要不接3就一定不是不吉利数的任何前缀

这也意味着一般来讲只有j==0的时候p[i][j]会大于1，其他时候要不是0要不是1

再举个例子：不吉利数1235123723构成的p[][]矩阵（行和列都是0到m-1即0到9）

9  1  0  0  0  0  0  0  0  0

8  1  1  0  0  0  0  0  0  0

8  1  0  1  0  0  0  0  0  0

8  1  0  0  1  0  0  0  0  0

9  0  0  0  0  1  0  0  0  0

8  1  0  0  0  0  1  0  0  0

8  1  0  0  0  0  0  1  0  0

7  1  0  0  1  0  0  0  1  0

8  1  0  0  0  0  0  0  0  1

8  1  0  0  0  0  0  0  0  0

上面p[][]矩阵的第一行刚好就是dp[1][i]！而dp[2][i] = ∑(dp[1][k]*p[k][j]) (0<=k<=m-1)

是不是很像矩阵乘法？所以最后答案就是矩阵p[][]自乘n次后第一行的和

至于如何求出p矩阵？kmp瞎搞搞就好了

#include<stdio.h>#include<string.h>int n, mod;typedef struct{int i, j;int a[32][32];void init(){memset(a, 0, sizeof(a));}void unit(){memset(a, 0, sizeof(a));for(i=1;i<=n;i++)a[i][i] = 1;}}Matrix;Matrix Jz;Matrix Powto(Matrix p, int k);Matrix Jjcf(Matrix p1, Matrix p2);int main(void){int k, p, q, i, ans, net[25];char str[25], j;while(scanf("%d%d%d", &k, &n, &mod)!=EOF){Jz.init();scanf("%s", str+1);memset(net, 0, sizeof(net));p = 0, q = 1, net[1] = 0;while(q<=n){if(p==0 || str[p]==str[q]){p++, q++;if(str[p]==str[q])net[q] = net[p];elsenet[q] = p;}elsep = net[p];}Jz.a[1][1] = 9, Jz.a[1][2] = 1;for(i=1;i<=n-1;i++){for(j='0';j<='9';j++){p = i+1;while(str[p]!=j && p!=0)p = net[p];Jz.a[i+1][p+1]++;}}Jz = Powto(Jz, k);ans = 0;for(i=1;i<=n;i++)ans = (ans+Jz.a[1][i])%mod;printf("%d\n", ans);}return 0;}Matrix Powto(Matrix p, int k){Matrix bg, E;E.unit();if(k==0)return E;if(k==1)return p;bg = Powto(p, k>>1);bg = Jjcf(bg, bg);if((k&1)==1)bg = Jjcf(bg, p);return bg;}Matrix Jjcf(Matrix p1, Matrix p2){Matrix pe;int i, j, k;memset(pe.a, 0, sizeof(pe.a));for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){for(k=1;k<=n;k++)pe.a[i][j] = (pe.a[i][j]+p1.a[i][k]*p2.a[k][j])%mod;}}return pe;}/*10000 7 1232351237*/