二叉查找树的插入和删除详解
来源:互联网 发布:淘宝二层牛皮除牛反绒 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 12:57
二叉查找树是如下定义的:
(1) 左子树不空,则左子树上的所有结点的值均小于根结点的值
(2) 右子树不空,则右子树上的所有结点的值均大于根结点的值
二叉查找树可以为空,二叉查找树是递归定义的,也就是说其左右子树也为二叉查找树。
二叉查找树是一种动态查找表,可以进行动态地插入和删除。前面的定义中我们假定二叉查找树不含有相同元素。
由定义可知二叉查找树的中序序列为一个递增序列
常见的二叉查找树操作有求最小元素findMin(),求最大元素findMax(),判断查找树是否非空isEmpty(),判断是否包含给定元素contains(),输出所有元素printTree(),置空查找树makeEmpty(),向查找树中插入给定元素x,insert(x),在查找树中删除给定元素x,remove(x)。
下面先讨论最重要的插入和删除操作,接着给出完整的C风格实现。
1、基本结构定义
- class Student
- {
- public:
- int key;
- string major;
- Student(int k=int(),string s="") : key(k), major(s){}
- void operator=(const Student& rhs);
- };
- typedef Student ElementType;
- typedef int KeyType;
- typedef struct BSTNode
- {
- ElementType data;
- struct BSTNode* lchild;
- struct BSTNode* rchild;
- }BSTNode, *BST;
详细信息请看后面完整程序
2、插入
(1) 不允许插入相同关键字,若二叉查找树中存在该关键字,则不插入
(2) 我们可以先检索二叉树,看查找树中是否含有该关键字,若不存在,再做一次扫描将结点插入到适当位置。使用这种方式,为插入一个该关键字,做了两次扫描。
(3) 注意到,插入的结点总是作为某一叶子节点的子结点,我们可以在第一次扫描过程中就确定待插入的位置,即把查找是否存在该关键字和查找可能的插入点在一次扫描中完成,提高插入效率。
(4) 查找递归实现
- /*
- description:在以t为根结点的二叉查找树中,查找关键字为key的结点
- 若查找成功,指针p指向该结点,返回true,
- 否则指向查找路径上的最后一个结点并返回false
- 指针f指向根结点t的父节点
- */
- bool searchBST_recursion(BST t, KeyType key, BSTNode* f, BSTNode*& p)
- {
- if(t == NULL)//查找失败
- {
- p = f;
- return false;
- }
- else if(key == t->data.key)//查找成功
- {
- p = t;
- return true;
- }
- else if(key < t->data.key)
- return searchBST_recursion(t->lchild,key,t,p);//左子树中继续查找
- else
- return searchBST_recursion(t->rchild,key,t,p);//右子树中继续查找
- }
(5) 查找非递归实现
- bool searchBST(BST t, KeyType key, BSTNode* f, BSTNode* &p)
- {
- while(t && key != t->data.key)
- {
- f = t;
- if(key < t->data.key)
- {
- t = t->lchild;
- }
- else
- {
- t = t->rchild;
- }
- }
- if(t)//查找成功
- {
- p = t;
- return true;
- }
- else
- {
- p = f;
- return false;
- }
- }
(6) 插入给定元素
- void insertBST(BST& t,ElementType elem)
- {
- BSTNode * p = NULL;
- if(!searchBST(t, elem.key, NULL, p))//查找失败,不含该关键字,可以插入
- {
- BSTNode * s = new BSTNode;
- s->data = elem;//可能需要重载=
- s->lchild = NULL;
- s->rchild = NULL;
- if(p == NULL)//查找树为空
- {
- t = s;//置s为根结点
- }
- else if(elem.key < p->data.key)
- {
- p->lchild = s; //*s为p左结点
- }
- else
- {
- p->rchild = s; //*s为p右结点
- }
- }
- }
3、删除
在二叉查找树中删除一个给定的结点p有三种情况
(1) 结点p无左右子树,则直接删除该结点,修改父节点相应指针
(2) 结点p有左子树(右子树),则把p的左子树(右子树)接到p的父节点上
(3) 左右子树同时存在,则有三种处理方式
a. 找到结点p的中序直接前驱结点s,把结点s的数据转移到结点p,然后删除结点s,由于结点s为p的左子树中最右的结点,因而s无右子树,删除结点s可以归结到情况(2)。严蔚敏数据结构P230-231就是该处理方式。
b. 找到结点p的中序直接后继结点s,把结点s的数据转移到结点p,然后删除结点s,由于结点s为p的右子树总最左的结点,因而s无左子树,删除结点s可以归结到情况(2)。算法导论第2版P156-157该是该处理方式。
c. 找到p的中序直接前驱s,将p的左子树接到父节点上,将p的右子树接到s的右子树上,然后删除结点p。
使用处理方式a的代码如下:
- //从二叉查找树中删除指针p所指向的结点 ,p非空,删除前驱方式
- void removeNode1(BSTNode *& p)
- {
- BSTNode *q = NULL;
- if(!p->rchild)//*p的右子树为空
- {
- q = p;
- p = p->lchild;
- delete q;
- }
- else if(!p->lchild)//*p的左子树为空
- {
- q = p;
- p = p->rchild;
- delete q;
- }
- else//左右子树均不空
- {
- BSTNode *s = NULL;
- q = p;
- s = p->lchild; //左子树根结点
- while(s->rchild) //寻找结点*p的中序前驱结点,
- { //也就是以p->lchild为根结点的子树中最右的结点
- q = s; //*s指向*p的中序前驱
- s = s->rchild; //*q指向*s的父节点
- }
- p->data = s->data; //*s结点中的数据转移到*p结点,然后删除*s
- if(q != p) //p->lchild右子树非空
- {
- q->rchild = s->lchild;//把*s的左子树接到*q的右子树上
- }
- else //p->lchild右子树为空 ,此时q ==p
- {
- q->lchild = s->lchild;//把*s的左子树接到*q的左子树上
- }
- delete s; //删除结点*s
- }
- }
使用处理方式b的代码如下:
- //从二叉查找树中删除指针p所指向的结点 ,p非空,删除后继方式
- void removeNode2(BSTNode *& p)
- {
- BSTNode *q = NULL;
- if(!p->rchild)//*p的右子树为空
- {
- q = p;
- p = p->lchild;
- delete q;
- }
- else if(!p->lchild)//*p的左子树为空
- {
- q = p;
- p = p->rchild;
- delete q;
- }
- else//左右子树均不空
- {
- BSTNode *s = NULL;
- q = p;
- s = p->rchild; //右子树根结点
- while(s->lchild) //寻找结点*p的中序后继结点,
- { //也就是以p->rchild为根结点的子树中最左的结点
- q = s; //*s指向*p的中序后继
- s = s->lchild; //*q指向*s的父节点
- }
- p->data = s->data; //*s结点中的数据转移到*p结点,然后删除*s
- if(q != p) //p->rchild左子树非空
- {
- q->lchild = s->rchild;//把*s的右子树接到*q的左子树上
- }
- else //p->rchild左子树为空 ,此时q ==p
- {
- q->rchild = s->rchild;//把*s的右子树接到*q的右子树上
- }
- delete s; //删除结点*s
- }
- }
使用处理方式c的代码如下:
- //从二叉查找树中删除指针p所指向的结点 ,p非空,直接删除p的方式
- void removeNode3(BSTNode *& p)
- {
- BSTNode *q = NULL;
- if(!p->rchild)//*p的右子树为空
- {
- q = p;
- p = p->lchild;
- delete q;
- }
- else if(!p->lchild)//*p的左子树为空
- {
- q = p;
- p = p->rchild;
- delete q;
- }
- else//左右子树均不空
- {
- BSTNode *s = NULL;
- q = p;
- s = p->lchild; //左子树根结点
- while(s->rchild) //寻找结点*p的中序前驱结点,
- { //也就是以*s为根结点的子树中最右的结点
- s = s->rchild;
- }
- s->rchild = p->rchild;//*p的右子树接到*s的右子树上
- p = p->lchild; //*p的左子树接到父节点上
- delete q; //删除结点*q
- }
- }
在二叉查找树中删除含有给定关键字的元素结点的递归函数如下:
- //删除关键字为key的元素结点 -递归
- void removeBST_recursion(BST& t, KeyType key)
- {
- if(t)
- {
- if(key < t->data.key)
- {
- removeBST_recursion(t->lchild,key);
- }
- else if(t->data.key < key)
- {
- removeBST_recursion(t->rchild,key);
- }
- else//找到关键字为key的元素
- {
- // removeNode1(t);//删除结点*t
- // removeNode2(t);
- removeNode3(t);
- }
- }
- }
(1)由于该函数是递归的,且用到了指针引用,我们在前面的删除给定结点p的函数中,修改p就相当于修改了父节点,这是和C中不同的地方,在C中要达到这种效果,可以使用指向指针的指针变量。
(2)只给出了该函数的递归实现,没有给出非递归实现,是为了避免把代码弄乱。要实现非递归,可以修改前面的删除结点p的函数,添加一个指向结点p的父节点的指针引用f。同时要修改查找是否存在关键字为key的非递归查找函数,使其在得到p的同时,可以得到其父节点。这样我们在实现非递归时,只需扫描一遍,即调用查找函数,如果有该关键字,我们就可以得到指向该结点的指针p和指向结点p的父节点f,然后调用删除给定结点p的函数即可。
4、完整测试程序
- #include <cstdlib>
- #include <iostream>
- #include <string>
- using namespace std;
- class Student
- {
- public:
- int key;
- string major;
- //other data
- Student(int k=int(),string s="") : key(k), major(s){}
- //重载赋值运算符
- void operator=(const Student& rhs)
- {
- if(this != &rhs)
- {
- key = rhs.key;
- major = rhs.major;
- }
- }
- };
- //重载<<,便于输出自定义类对象
- ostream& operator<<(ostream &out, const Student& s)
- {
- out<<"("<<s.key<<","<<s.major<<")";
- }
- typedef Student ElementType;
- typedef int KeyType;
- typedef struct BSTNode
- {
- ElementType data;
- struct BSTNode* lchild;
- struct BSTNode* rchild;
- }BSTNode, *BST;
- /*
- description:在以t为根结点的二叉查找树中,查找关键字为key的结点
- 若查找成功,指针p指向该结点,返回true,
- 否则指向查找路径上的最后一个结点并返回false
- 指针f指向根结点t的父节点
- */
- //bool searchBST_recursion(BST t, KeyType key, BSTNode* f, BSTNode*& p)
- //{
- // if(t == NULL)//查找失败
- // {
- // p = f;
- // return false;
- // }
- // else if(key == t->data.key)//查找成功
- // {
- // p = t;
- // return true;
- // }
- // else if(key < t->data.key)
- // return searchBST_recursion(t->lchild,key,t,p);//左子树中继续查找
- // else
- // return searchBST_recursion(t->rchild,key,t,p);//右子树中继续查找
- //}
- //非递归查找
- bool searchBST(BST t, KeyType key, BSTNode* f, BSTNode* &p)
- {
- while(t && key != t->data.key)
- {
- f = t;
- if(key < t->data.key)
- {
- t = t->lchild;
- }
- else
- {
- t = t->rchild;
- }
- }
- if(t)//查找成功
- {
- p = t;
- return true;
- }
- else
- {
- p = f;
- return false;
- }
- }
- //插入给定元素
- void insertBST(BST& t,ElementType elem)
- {
- BSTNode * p = NULL;
- if(!searchBST(t, elem.key, NULL, p))//查找失败,不含该关键字,可以插入
- {
- BSTNode * s = new BSTNode;
- s->data = elem;//可能需要重载=
- s->lchild = NULL;
- s->rchild = NULL;
- if(p == NULL)//查找树为空
- {
- t = s;//置s为根结点
- }
- else if(elem.key < p->data.key)
- {
- p->lchild = s; //*s为p左结点
- }
- else
- {
- p->rchild = s; //*s为p右结点
- }
- }
- }
- //从二叉查找树中删除指针p所指向的结点 ,p非空,删除前驱方式
- void removeNode1(BSTNode *& p)
- {
- BSTNode *q = NULL;
- if(!p->rchild)//*p的右子树为空
- {
- q = p;
- p = p->lchild;
- delete q;
- }
- else if(!p->lchild)//*p的左子树为空
- {
- q = p;
- p = p->rchild;
- delete q;
- }
- else//左右子树均不空
- {
- BSTNode *s = NULL;
- q = p;
- s = p->lchild; //左子树根结点
- while(s->rchild) //寻找结点*p的中序前驱结点,
- { //也就是以p->lchild为根结点的子树中最右的结点
- q = s; //*s指向*p的中序前驱
- s = s->rchild; //*q指向*s的父节点
- }
- p->data = s->data; //*s结点中的数据转移到*p结点,然后删除*s
- if(q != p) //p->lchild右子树非空
- {
- q->rchild = s->lchild;//把*s的左子树接到*q的右子树上
- }
- else //p->lchild右子树为空 ,此时q ==p
- {
- q->lchild = s->lchild;//把*s的左子树接到*q的左子树上
- }
- delete s; //删除结点*s
- }
- }
- //从二叉查找树中删除指针p所指向的结点 ,p非空,删除后继方式
- void removeNode2(BSTNode *& p)
- {
- BSTNode *q = NULL;
- if(!p->rchild)//*p的右子树为空
- {
- q = p;
- p = p->lchild;
- delete q;
- }
- else if(!p->lchild)//*p的左子树为空
- {
- q = p;
- p = p->rchild;
- delete q;
- }
- else//左右子树均不空
- {
- BSTNode *s = NULL;
- q = p;
- s = p->rchild; //右子树根结点
- while(s->lchild) //寻找结点*p的中序后继结点,
- { //也就是以p->rchild为根结点的子树中最左的结点
- q = s; //*s指向*p的中序后继
- s = s->lchild; //*q指向*s的父节点
- }
- p->data = s->data; //*s结点中的数据转移到*p结点,然后删除*s
- if(q != p) //p->rchild左子树非空
- {
- q->lchild = s->rchild;//把*s的右子树接到*q的左子树上
- }
- else //p->rchild左子树为空 ,此时q ==p
- {
- q->rchild = s->rchild;//把*s的右子树接到*q的右子树上
- }
- delete s; //删除结点*s
- }
- }
- //从二叉查找树中删除指针p所指向的结点 ,p非空,直接删除p的方式
- void removeNode3(BSTNode *& p)
- {
- BSTNode *q = NULL;
- if(!p->rchild)//*p的右子树为空
- {
- q = p;
- p = p->lchild;
- delete q;
- }
- else if(!p->lchild)//*p的左子树为空
- {
- q = p;
- p = p->rchild;
- delete q;
- }
- else//左右子树均不空
- {
- BSTNode *s = NULL;
- q = p;
- s = p->lchild; //左子树根结点
- while(s->rchild) //寻找结点*p的中序前驱结点,
- { //也就是以*s为根结点的子树中最右的结点
- s = s->rchild;
- }
- s->rchild = p->rchild;//*p的右子树接到*s的右子树上
- p = p->lchild; //*p的左子树接到父节点上
- delete q; //删除结点*q
- }
- }
- //删除关键字为key的元素结点 -递归
- void removeBST_recursion(BST& t, KeyType key)
- {
- if(t)
- {
- if(key < t->data.key)
- {
- removeBST_recursion(t->lchild,key);
- }
- else if(t->data.key < key)
- {
- removeBST_recursion(t->rchild,key);
- }
- else//找到关键字为key的元素
- {
- // removeNode1(t);//删除结点*t
- // removeNode2(t);
- removeNode3(t);
- }
- }
- }
- //输出二叉查找树,中序递归
- void printTree(const BST & t)
- {
- if(t)
- {
- printTree(t->lchild);
- cout<<t->data<<" ";
- printTree(t->rchild);
- }
- }
- int main(int argc, char *argv[])
- {
- const int N = 10;
- BST root = NULL;
- for(int i=1; i<=N; i++)
- {
- Student s(i,"cs");//关键字为1-10
- insertBST(root,s);
- }
- cout<<"after insert: "<<endl;
- printTree(root);
- cout<<endl<<endl;
- for(int i=1;i<=N;i+=2)
- {
- removeBST_recursion(root,i);//删除关键字为1-3-5-7-9的结点
- }
- cout<<"after delete: "<<endl;
- printTree(root);
- cout<<endl<<endl;
- system("PAUSE");
- return EXIT_SUCCESS;
- }
5、二叉查找树类的完整C++实现请看:http://blog.csdn.net/sysu_arui/article/details/7892593
[1]严蔚敏《数据结构(C语言版)》
[2]算法导论(第2版)
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