DP 2084.数塔

数塔

Problem Description
在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

Input
输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

Output
对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

Sample Input
1
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output
30
这道题目如果使用贪婪算法不能保证找到真正的最大和。
在用动态规划考虑数塔问题时可以自顶向下的分析，自底向上的计算。
从顶点出发时到底向左走还是向右走应取决于是从左走能取到最大值还是从右走能取到最大值，只要左右两道路径上的最大值求出来了才能作出决策。同样的道理下一层的走向又要取决于再下一层上的最大值是否已经求出才能决策。这样一层一层推下去，直到倒数第二层时就非常明了。
所以第一步对第五层的8个数据，做如下四次决策：
如果经过第四层2，则在第五层的19和7中肯定是19；
如果经过第四层18，则在第五层的7和10中肯定是10；
如果经过第四层9，则在第五层的10和4中肯定是10；
如果经过第四层5，则在第五层的4和16中肯定是16；
经过一次决策，问题降了一阶。5层数塔问题转换成4层数塔问题，如此循环决策…… 最后得到1阶的数塔问题。

算法实现：首先利用一个二维数组data存储数塔的原始数据（其实我们只使用数组data一半的空间，一个下三角矩阵），然后利用一个中间数组dp存储每一次决策过程中的结果（也是一个下三角矩阵）。
初始化dp，将data的最后一层拷贝到dp中。dp[n][j] = data[n][j] (j = 1, 2, …, n) 其中，n为数塔的层数。
在动态规划过程汇总，我们有dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + data[i][j]，最后的结果保存在dp[0][0]中。
对于上面的数塔，我们的data数组如下：

9
12 15
10 6 8
2 18 9 5
19 7 10 4 16
而我们的dp数组如下：

59
50 49
38 34 29
21 28 19 21
19 7 10 4 16

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;int max(int a,int b){    return a>b ? a:b;}int main(){    int c;    scanf("%d",&c);    while(c--)    {        int n;        int data[110][110],dp[110][110];        cin>>n;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            for(int j=1;j<=i;j++)            {                scanf("%d",&data[i][j]);            }        }        for(int i=1;i<=n;i++)        {            dp[n][i]=data[n][i];        }        for(int i=n-1;i>0;i--)        {            for(int j=1;j<=i;j++)            {                dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+data[i][j];//用递推公式求出dp的值            }        }        printf("%d\n",dp[1][1]);        //求出路径        printf("%d",data[1][1]);//先写出第一个        int i,j=1,v;        for(i=2;i<=n;i++)        {            v=dp[i-1][j]-data[i-1][j];            if(v==dp[i][j+1])//如果v == dp[i][j + 1]则说明下一步应该是data[i][j + 1]            {                j=j+1;            }            printf("-->%d",data[i][j]);        }    }    return 0;}