51nod 1581 摆放骨牌

1581 摆放骨牌

原题连接：
https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#problemId=1581&noticeId=272933

很有趣的题目。

有障碍的骨牌覆盖。

嘻嘻

再介绍题目解法之前。大家都见过国际象棋的棋盘吧。

对 。就是这个棋盘

黑色格子。白色格子。

我们使用1*2的骨牌覆盖这个棋盘。

因为相邻格子颜色不同。那么每个骨牌必定覆盖一个黑色。一个白色。

我们可以把棋盘看做两个集合。黑色的集合 与 白色的集合。

因为每个方格只有可能 与 它 相邻 的格子 被覆盖在一张骨牌下。

那么我们把棋盘看做一个图。每个格子与周围的格子有且只有有一条边（无向）。

这个时候。为们构建了一个二分图。

对于棋盘每一个 ‘完整’ 的覆盖。相当于这个图的一个完美匹配。

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这个题。思路比较难打开。

需要肯定的是。计算完美匹配数量更加的困难。

但 ：我们只需判断完美匹配是否唯一。

这与欧拉回路有千丝万缕的关系。（通过欧拉回路来解释一些可以用的性质）

对于一个二分图。如果存在完美匹配。并且某个点的度为1.

那么 。这个点所匹配的点也就确定了。

能否通过 BFS 来删去度数为1的点以及这个点所匹配的点。

并 减少与删去点有边的点的度数。将产生的新的度数为1的点 入队。循环上过程。直到寻找到所有点的匹配。

(这只是一个猜测。)

嘻嘻。如果一个二分图。且这个图是简单图。两个集合节点数量相同。

并且。这个图是联通的。所有点的度数都大于1

首先可以肯定的是。这个图必然存在完美匹配。

为什么。欧拉回路。

我们通过删去一部分边。使得所有点的度数为2。

剩下的边将会组成一个欧拉回路。

并且。还是一个环。

这个环是黑白相间的。（二分图相同集合不能直接有边

又因为不存在重边。这个环的长度必然为 2k   ,k>1

那么它至少已经有两个完美匹配了。对于每个节点。环上相邻的两个节点

它可以选择一个匹配。

虽然我们不能得到必然存在唯一完美匹配的有效结论

但我们得到了一个必然存在多个完美匹配的结论。

也就是说。简单图且是二分图，两个集合节点数量相等。所有点的度数>1

那么这个图必然存在多个完美匹配。

对立过来。如果图中存在唯一完美匹配。那么至少存在一个度为1的点。

回到那个BFS 。

没有度为1的点原因有两个：

1:所有点匹配完毕。2:剩下的点度数都大于1或者为0

对于情况 1：

因为BFS过程中。我们处理的都是度为1的点。所以方案必然唯一（度为1意味着你的选择也只有一种）

所以此时我们得到的方案必然是唯一可行的方案。

对于情况2：

因为剩下点度都大于1. 那么剩下点必然存在多个完美匹配

或者：

当我们运行完BFS后。某些点不存在与之匹配的点。

（也就是说。当我们没有为这些点匹配点的时候。他的度数已经变成了0。）

这是因为这时候黑白集合大小不同造成的。属于不存在完美匹配的情况。

下面是代码

#include <algorithm>#include <string.h>#include <stdio.h>#define MAXN 2005using namespace std;char ss[MAXN][MAXN];char ans[MAXN][MAXN];int du[MAXN][MAXN];int Q[MAXN*MAXN][2];int d[4][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};char s1[6]="<>^v";char s2[6]="><v^";int n,m;void BFS(int x,int y){    Q[0][0]=x;    Q[0][1]=y;    int l=0,r=1;    while(l<r)    {        x=Q[l][0];        y=Q[l][1];        l++;        du[x][y]=0;        for(int i=0;i<4;i++)        {            int X=x+d[i][0];            int Y=y+d[i][1];            if(du[X][Y]==0)continue;            du[X][Y]=0;            ans[x][y]=s1[i];            ans[X][Y]=s2[i];            for(int t=0;t<4;t++)            {                int a=X+d[t][0];                int b=Y+d[t][1];                if(du[a][b]==0)continue;                du[a][b]--;                if(du[a][b]==1)                {                    Q[r][0]=a;                    Q[r][1]=b;                    r++;                }            }        }    }}int main (){    int tmp=0;    bool flag=true;    scanf("%d %d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%s",ss[i]+1);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)            if(ss[i][j]=='.')                for(int t=0;t<4;t++)                {                    tmp++;                    int x=i+d[t][0];                    int y=j+d[t][1];                    if(ss[x][y]=='.')du[i][j]++;                }    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)            if(du[i][j]==1)  BFS(i,j);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)            if(ss[i][j]=='.'&&ans[i][j]==0) flag=false;    if(flag)    {        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=m;j++)                if(!ans[i][j])ans[i][j]='*';        for(int i=1;i<=n;i++)            printf("%s\n",ans[i]+1);    }    else        printf("Not unique\n");    return 0;}