关于网易公开课上南开数学文化的总结

第一章与第二章的序言

 

1.     数学素养是什么？

个人理解为数学素养就是将数学中学到的公式定理全部忘掉之后所遗留下来的东西，在无形之中影响我们思维方式的一种能力。

2.     序言的四道思考题

解答：比赛结果是甲获得胜利，个人理解：甲的速度是比乙要快的，所以甲后退10米，相当于甲与乙在乙90米的地方一起起跑，所以胜者自然是甲。

 

解答：应该从混装的那个匡里取出水果，因为题目的已知条件已经给出，所有标签全部贴错，这是一个十分重要的提示。假设我们从混装的筐中取出苹果，那么之前贴混装的筐里一定是柑子，剩下的那个筐就是混装。

 

解答：这道题就有一定的难度，这道题的突破点有3个点。

1.     为什么只有中间的学生猜到了帽子的颜色？

因为其他学生都在犹豫，其他的学生都猜不出颜色，所以只有中间的学生才能猜到。

2.     为什么其他的学生都在犹豫？

因为他们不能看尽所有的颜色，个人认为不能看尽是这个问题最大的突破口。举个例子，如果周围六个人可以看到三个黄色，那么他就一定可以知道自己是白色，反之亦然。

3.     可能性只有两种，黄色或者白色。所以我们可以用反证法来得出答案。我们先假设中间的是黄色。那么剩下的6人一定有人可以看到所有的黄色，这显然是不成立的，所以中间的颜色只有可能是白色。

 

 

解答：这道题一眼看上去很迷。。。但是结合一下所学算法当中的“状态“可以很好的理解。

我们先假设如果只有一条病狗，那么这条病狗的主人，看到剩下49条都是健康的狗，因为题目条件可知一定至少存在一条病狗，所以只有一条病狗第一天就会被打死。

我们再来讨论下两条病狗的情况。这2条狗的主人看剩下49条中有一条病狗，因此这个问题只有2种情况。只有一条病狗或者有两条病狗。但在第一天没有枪声，证明第一天没有病狗，所以在第二天所有狗被打死。这就是第二天的状态。

以此类推，在第K天的时候，只有两种状态：有K条病狗或者只有K-1条病狗，如果K-1天没有枪声，一定有K条病狗。

因为K=10，所以有10条病狗。

 

第三章 有限与无限

 

个人认为这章主要有三个结论

1. 无穷集合的本质是在他里面可以找到一个真子集与全集一一对应。

2.对无限集，部分可以等于整体。
3.有限里的结论不能随便放到无限中来使用。

 

 

第四章 数学当中的抽象

抽象是一种数学思想，把物体的特征简要的描述出来的一种方法。

3个橘子+5个苹果=？

答案是8个水果 这就是一种抽象。

 

图论的开端——哥尼斯堡七桥问题

这个在离散数学里有详细的讲解，这里就不多说。简要的了解了完整的七桥问题的历史

1.    七桥问题在当时不是个欧拉图，所以是没有正解的。

2.    欧拉图当中的判定条件度数为奇数的数量小于等于2。事实上指的是0和2。而数量为1的图图论中证明这种图并不存在。

 

 

第五章 类比的思想

 

类比又叫合情推理，不同于演绎推理与逻辑推理，它推理出的结果很可能是不正确的，需要之后用逻辑推理的方式进行验证。

运用类比可以解决一些比较复杂的问题。

比如我们知道3条直线最多可以把平面分成7个部分。原因是为了相交情况最复杂。第三条直线与前面2条直线相交时有2个交点把直线分成了3部分，直线每部分又可以把平面一分为二，所以新增加了3个平面。为3+4=7；

同理当有4条直线时，与之前三条直线相交的情况要最复杂，3个焦点-4部分-新增加4个面。7+4=11；

 

我们更可以把平面的结论推广到空间中进行操作，

3个平面最多把空间分成8个部分，那么4个平面就是第四个平面相交情况最复杂，3条交线-多了7个部分。

8+7=15；

结论：有n条平面分空间时，假如已知n-1条直线分平面的情况与n-1个平面分空间的情况，那么结果就是两者之和。

 

第六章 变中有不变的思想

 

在变化中不变的那个量往往是我们解决问题的关键。比如圆周率。又或是线性代数中的向量组秩数的不变都为我们揭露事物的本质提供了条件。

 

第七章和第八章 斐波那契数列与黄金比

 

斐波那契数列的性质：每10项的和都为第7项的11倍

 

把斐波那契数列的第一项去掉，然后作为分母与前项作比的和成为黄金比。

 

斐波那契数列的拓展版的规律与原版同样适用（个人理解就是n倍的关系）

 

斐波那契数列前n项和=第n+2项-第2项。

 

黄金比的应用广泛，与自然和美感都有关系。甚至小说中高潮的设定最好也设定在0.618的部分。

 

优选法的基础正是黄金分割的再生性。所以用黄金分割的优选法比二分法更加迅速，因为它省去了一些重复的计算。（但是好像实际计算机应用中黄金分割的优选法比较难写，我觉得2分法好一点）