【HDU1792】A New Change Problem

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1792
题意：给定A和B，A和B互质，求最大不能组合数，和不能组合数的个数。

基础知识：
Gcd(A, B) = 1 → Lcm(A, B) = AB
剩余类，把所有整数划分成m个等价类，每个等价类由相互同余的整数组成

任何数分成m个剩余类，分别为 mk，mk+1，mk+2，……，mk+(m-1)

分别记为{0(mod m)}，{1(mod m)}……

而n的倍数肯定分布在这m个剩余类中

因为Gcd(m，n)=1，所以每个剩余类中都有一些数是n的倍数，并且是平均分配它的旁证，可见HDOJ 1222 Wolf and Rabbit

设 k_min = min{ k | nk ∈ {i (mod m)} }, i ∈ [0, m)

则 nk_min 是{i (mod m)}中n的最小倍数。特别的，nm ∈ {0 (mod m)}

nk_min 是个标志，它表明{i (mod m)}中nk_min 后面所有数，即nk_min + jm必定都能被组合出来

那也说明最大不能组合数必定小于nk_min

我们开始寻找max{ nk_min }

Lcm(m, n) = mn，所以很明显(m-1)n是最大的

因为(m-1)n是nk_min 中的最大值，所以在剩下的m-1个剩余类中，必定有比它小并且能被m和n组合，这些数就是(m-1)n -1，(m-1)n -2，……，(m-1)n -(m-1)

所以最大不能被组合数就是(m-1)n -m

如果m和n不互素，那{1 (mod m)}不能被m组合，同样也不能被n和m组合

我们能求出各个剩余类的nk_min之后，不能组合数的个数就是每个剩余类中小于各自nk_min的数的个数总和。
观察如下：
M = 5，N = 3
{0(mod 5)}：0，5，10，15……
{1(mod 5)}：1，6，11，16……
{2(mod 5)}：2，7，12，17……
{3(mod 5)}：3，8，13，18……
{4(mod 5)}：4，9，14，19……
加粗的就是不能组合数，可以看出在剩余类中它的数目有规律
Total = [0+1+2] + [0+1]
因为m和n互质，必有一个不完全周期
整理以后，可得公式 Total = (n-1)*(m-1)/2

转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_79b832820100riqp.html

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define LL long longusing namespace std;int main(){    int a,b;    while(~scanf("%d %d",&a,&b)){        printf("%d %d\n",a*b-a-b,(a-1)*(b-1)/2);    }    return 0;}