平面直线切割问题 (LINES IN THE PLANE) 问题
来源:互联网 发布:第十二个天体 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 12:39
问题描述:平面上有n条直线,问你用这n条直线最多可以把这个平面分成几个区域;
当n=1时: n=2时: n=3时:
所组成的区域个数:2 4 7.........
这里需要再说一下当n=0的时候,区域个数是:1
所以为了更方便我们做一个表格:n代表有n条线,m代表所组成的区域个数:
令T[n]表示:用n条直线所组成的个数为T[n],显然可以推论出:T[n] = T[n-1]+n(n>0);
这样我们还是没办法轻易的看出一般式,那么我们继续推论:
T[n]=T[n-1]+n;
=T[n-2]+(n-1)+n;
=T[n-3]+(n-2)+(n-1)+n;
.......
=T[0]+1+2+...+(n-2)+(n-1)+n;
所以换句话说,T[n]实际上就是比正整数n的前n项和大1;
这里我要提一下这个:计算前n项的和,从小我都知道这个问题,当然我也认识了高斯,他提出这个问题解法的时候只有九岁,比我知道这个问题的岁数都小,吓得我赶紧又膜拜一下这个神人,在这里说一下高斯dalao是怎么推出来的;
S[n] = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ (n-2) + (n-1) + n;
+ S[n] = n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +...+ 3 + 2 + 1;
2S[n] = (n+1) + (n+1) + (n+1) + (n+1) +...+ (n+1) + (n+1) +(n+1);
=n*(n+1);
所以S[n]=n*(n+1)/2; 这里多提了一个问题
回归正题,我们的答案早已经求出,即:当有n条直线时,所能界定的区域个数为:
T[n]=n*(n-1)/2+1;
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