切割平面问题

平面内n条直线,把这个平面最多分成几部分？

第1条分成2个,
第2条分成4个,
第3条分成7个,
第4条分成11个,
第2条比第1条多分2个,
第3条比第2条多分3个
第4条比第3条多分4个
所以第n条,比第n-1条多分n个.
第2条的个数:4=2+2
第3条的个数:7=2+2+3
第4条的个数:11=2+2+3+4
第n条的个数:=2+2+3+4+ —– +n
2+2+3+4+ —– +n
=1+1+2+3+4+ —- +n
=1+n*(n+1)/2
当n=1时,1+n*(n+1)/2=2
当n=2时,1+n*(n+1)/2=4
当n=3时,1+n*(n+1)/2=7
所以n条直线把平面分成1+n*(n+1)/2个

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分析：
先看N条相交的直线最多能把平面分割成多少块
杭电acm2050 折线分割平面
当添加第N条只显示，为了使平面最多， 则第N条直线要与前面的N-1条直线都相交，且没有任何三条直线教育一个点。
则第N条直线有N-1个交点。由于每增加N个交点，就增加N+1个平面，所以用N条直线来分隔平面，最多的数是1+1+2+3+…+n=1+n*(n+1)/2;

再看每次增加两条相互平行的直线
杭电acm2050 折线分割平面

当第N次添加时，前面已经有2N-2条直线了，所以第N次添加时，第2N-1条直线和第2N条直线都各能增加2*（n-1）+1 个平面。
所以第N次添加增加的面数是2[2(n-1) + 1] = 4n - 2 个。因此，总面数应该是
1 + 4n(n+1)/2 - 2n = 2n2 + 1

如果把每次加进来的平行边让它们一头相交
杭电acm2050 折线分割平面
则平面1、3已经合为一个面，因此，每一组平行线相交后，就会较少一个面，
所以所求就是平行线分割平面数减去N，为2n2 -n + 1面问题