Eddy's 洗牌问题 HDU1210
来源:互联网 发布:防火墙端口转换 编辑:程序博客网 时间:2024/06/14 08:25
Eddy是个ACMer,他不仅喜欢做ACM题,而且对于纸牌也有一定的研究,他在无聊时研究发现,如果他有2N张牌,编号为1,2,3..n,n+1,..2n。这也是最初的牌的顺序。通过一次洗牌可以把牌的序列变为n+1,1,n+2,2,n+3,3,n+4,4..2n,n。那么可以证明,对于任意自然数N,都可以在经过M次洗牌后第一次重新得到初始的顺序。编程对于小于100000的自然数N,求出M的值。
Input
每行一个整数N
Output
输出与之对应的M
Sample Input
20
1
Sample Output
20
2
[分析]
转自:http://blog.csdn.net/lishuhuakai/article/details/8516192/
关于这道题的做法,我这里复制一下杭电的解题报告:
Eddy’s洗牌
原始算法:
我们把每个数逛来逛去最后又回家的过程叫做一个循环,循环中经过的位置个数叫做循环的长度。如N=4时,有 两个循环:1-2-4-8-7-5-1,长度为6;3-6-3,长度为2。答案就是所有循环长度的最小公倍数。显然算法时空复杂度均为O(n)(因为需要记录一个数是否已被某个循环经过)。
高效算法:
1所在的循环长度就是答案。时间复杂度小于O(n),空间复杂度为O(1),编程复杂度也远低于原始算法。这个算法是建立在如下结论之上的:“1所在的循环长度是其它任一循环长度的倍数”,或者表述为“1回家时,其它任一数字也一定回了家”。
给出的证明:
题目中的移动规则,其实就是每次把在第x个位置的数移动到位置x*2 mod (2*n+1)。这个式子是十分巧妙的,请用心领悟。由这个式子可以得出任一数字x在p步之后的位置:x*2^p mod (2*n+1)。假设1经过p步回了家,那么可得1*2^p mod (2*n+1)=1。由此可得对任一数字x,均有x*2^p mod (2*n+1)=x,即1回家时任一数字都回了家。
[代码]
#include<cstdio> using namespace std;int main(){ int num, i, p, sum; while (scanf("%d",&num)!=EOF) { p = 2 * num + 1; for (i = 1, sum = 1;; i++) { sum = (sum * 2) % p; if (sum == 1) break; } printf("%d\n", i); } return 0;}
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