LIS最长上升子序列（打印路径）

问题描述：给定n个整数A1,A2,…An，按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升子序列。例如序列162375，可以选出1235也可以选出167，但是前者更长，且要求选出的上升子序列中相邻元素不相等。
下面是时间复杂度O（n2）的代码

// ConsoleApplication1.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。//#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 105;int d[maxn];int a[maxn]; int vis[maxn];int out[maxn] ;void dfs(int pos){    if (pos == -1)return;    dfs(vis[pos]);    printf(" %d", a[pos]);}int main(){    int n = 0;    while (cin >> n&&n != 0)    {        memset(d, 0, sizeof(d));        memset(a, 0, sizeof(a));        memset(vis, -1, sizeof(vis));    //  memset(out, 0, sizeof(out));        int i_ = 0;        int len = 0, len_i = 0, flag = 0;        while (i_ < n) cin >> a[i_++];        for (int i = 0; i < n; i++)        {            for (int j = 0; j < i; j++)            {                if ((a[i] > a[j]) && (d[i] < d[j] + 1))                {                    d[i] = d[j] + 1;                    vis[i] = j;                    if (len < d[i])                    {                        len = d[i];                        len_i = i;                    }                }            }        }        printf("The number is %d:", len+1);        dfs(len_i);        //这种逆序打印路径的问题，用递归也很好        /*int temp = len;        while (temp >= 0)        {            out[temp] = len_i;            len_i = vis[len_i];            temp--;        }        for (int k = 0; k <= len;k++)            printf(" %d", a[out[k]]);*/        printf("\n");    }    return 0;}

下面是O(n*logn)的算法，参考的
http://blog.163.com/quxp0718@126/blog/static/96937938200972874229274/?fromdm&fromSearch&isFromSearchEngine=yes

最长上升子序列的O(n＊logn)算法分析如下:

先回顾经典的O(n＾2)的动态规划算法，设a[t]表示序列中的第t个数，dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设dp [t] = 0(t = 1, 2, …, len(a))。则有动态规划方程：dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, …, t - 1, 且a[j] < a[t])。

现在，我们仔细考虑计算dp[t]时的情况。假设有两个元素a[x]和a[y]，满足

(1)x < y < t

(2)a[x] < a[y] < a[t]

(3)dp[x] = dp[y]

此时，选择dp[x]和选择dp[y]都可以得到同样的dp[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择a[x]还是应该选择a[y]呢？

很明显，选择a[x]比选择a[y]要好。因为由于条件(2)，在a[x+1] … a[t-1]这一段中，如果存在a[z]，a[x] < a[z] < a[y]，则与选择a[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k，我们只需要保留满足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{a[t]} (dp[t] = k)。

注意到D[]的两个特点：

(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < … < D[n]。

利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[t]与D[len]。若a [t] > D[len]，则将a[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = a [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < a[t]。令k = j + 1，则有a [t] <= D[k]，将a[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = a[t]。最后，len即为所要求的最长上 升子序列的长度。

在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

二分查找法见：http://blog.163.com/quxp0718@126/blog/static/96937938200972823041497/

核心代码：

int binsearch(int x) //找到最小的大于等于它的数{ int l = 1, r = len, mid;while (l <= r){    mid = (l + r) >> 1;if (d[mid-1] <= x && x < d[mid]) return mid;else if (x > d[mid]) l = mid + 1;else r = mid - 1;     }  }int main(){scanf ("%d", &n);for (i = 1; i<= n; i++)scanf ("%d", &a[i]);memset (d, 0, sizeof (d));d[1] = a[1];len = 1;for (i = 2; i <= n; i++){   if (a[i] < d[1]) j = 1;else if (a[i] > d[len]) j = ++len;else j = binsearch (a[i]);d[j] = a[i];   }printf ("%d\n", len);  return 0;}