图的相关知识

一、 相关概念
图的定义：图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
无向边：若顶点Vi 到Vj 的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对（Vi ，Vj）来表示。
如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。
有向边：若从顶点Vi 到Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧。用有序偶对（Vi ，Vj）来表示。Vi称为弧尾，Vj称为弧头。
如果图中任意顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。
无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。
有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条边。
因此，对于有n个顶点和e条边数的图，无向图0<=e<=n(n-1)/2，有向图0<=e<=n(n-1)。
有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
路径的长度是路径上的边或弧的数目。
第一个顶点与最后一个顶点相同路径称为回路或环。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。
连通图相关术语
在无向图G中，如果从顶点v到顶点w有路径，则称v和w是相通的。如果对图中任意两个顶点Vi和Vj 属于E，则两个顶点是连通的，则称G是连通图。如下图1，它的顶点A都顶点B、C、D都是连通的，但显然顶点A与顶点E或F就无路径，因此不能算是连通图。而图2，顶点A、B、C、D相互都是连通的，所以它本身是连通图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念，它强调：
（1）要是子图；
（2）子图要是连通的；
（3）连通子图含有极大顶点数；
（4）具有极大顶点树的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。
在有向图G中，如果对于每一对Vi和Vj 属于顶点集V，Vi不等于Vj ，从Vi到Vj和从Vj到Vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。

所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。比如下图的图1是一个普通图，但显然它不是生成树，当去掉两条构成环的边后，比如图2或图3，就满足n个顶点n-1条边且连通的定义了。它们都是一棵生成树。从这里也知道，如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图，如果它多于n-1条边，必定构成一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。比如图2和图3，随便加哪两顶点的边都将构成环。不过有n-1条边并不一定是生成树，比如图4。

二、 图的存储结构
1. 邻接矩阵
图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。设无向图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。
从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。
（1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；
（2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；
（3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；
而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。

   #include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <curses.h>typedef char VertexType;                //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType;                   //边上的权值类型应由用户定义#define MAXVEX  100             //最大顶点数，应由用户定义#define INFINITY    65535               //用65535来代表无穷大#define DEBUGtypedef struct{    VertexType vexs[MAXVEX];            //顶点表    EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX];         //邻接矩阵，可看作边    int numVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数}Graph;//定位int locates(Graph *g, char ch){    int i = 0;    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        if(g->vexs[i] == ch)        {            break;        }    }    if(i >= g->numVertexes)    {        return -1;    }    return i;}//建立一个无向网图的邻接矩阵表示void CreateGraph(Graph *g){    int i, j, k, w;    printf("输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));    #ifdef DEBUG    printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);    #endif    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        g->vexs[i] = getchar();        while(g->vexs[i] == '\n')        {            g->vexs[i] = getchar();        }    }    #ifdef DEBUG    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("%c ", g->vexs[i]);    }    printf("\n");    #endif    for(i = 0; i < g->numEdges; i++)    {        for(j = 0; j < g->numEdges; j++)        {            g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化        }    }    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)    {        char p, q;        printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:\n");        p = getchar();        while(p == '\n')        {            p = getchar();        }        q = getchar();        while(q == '\n')        {            q = getchar();        }        scanf("%d", &w);            int m = -1;        int n = -1;        m = locates(g, p);        n = locates(g, q);        if(n == -1 || m == -1)        {            fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");            return;        }        //getchar();        g->arc[m][n] = w;        g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图，矩阵对称    }}//打印图void printGraph(Graph g){    int i, j;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)        {            printf("%d  ", g.arc[i][j]);        }        printf("\n");    }}int main(int argc, char **argv){    Graph g;    //邻接矩阵创建图    CreateGraph(&g);    printGraph(g);    return 0;}

2. 邻接表
邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。

邻接表的处理方法是这样的：
（1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。
（2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。

从图中可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。

     /* 邻接表表示的图结构 */#include <stdio.h>#include<stdlib.h>#define DEBUG#define MAXVEX 1000         //最大顶点数typedef char VertexType;        //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义typedef struct EdgeNode         //边表结点{    int adjvex;         //邻接点域，存储该顶点对应的下标    EdgeType weigth;        //用于存储权值，对于非网图可以不需要    struct EdgeNode *next;      //链域，指向下一个邻接点}EdgeNode;typedef struct VertexNode       //顶点表结构{    VertexType data;        //顶点域，存储顶点信息    EdgeNode *firstedge;        //边表头指针}VertexNode, AdjList[MAXVEX];typedef struct{    AdjList adjList;    int numVertexes, numEdges;  //图中当前顶点数和边数}GraphList;int Locate(GraphList *g, char ch){    int i;    for(i = 0; i < MAXVEX; i++)    {        if(ch == g->adjList[i].data)        {            break;        }    }    if(i >= MAXVEX)    {        fprintf(stderr,"there is no vertex.\n");        return -1;    }    return i;}//建立图的邻接表结构void CreateGraph(GraphList *g){    int i, j, k;    EdgeNode *e;    EdgeNode *f;    printf("输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d,%d", &g->numVertexes, &g->numEdges);    #ifdef DEBUG    printf("%d,%d\n", g->numVertexes, g->numEdges);    #endif    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("请输入顶点%d:\n", i);        g->adjList[i].data = getchar();          //输入顶点信息        g->adjList[i].firstedge = NULL;          //将边表置为空表        while(g->adjList[i].data == '\n')        {            g->adjList[i].data = getchar();        }    }    //建立边表    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)    {        printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");        char p, q;        p = getchar();        while(p == '\n')        {            p = getchar();        }        q = getchar();        while(q == '\n')        {            q = getchar();        }        int m, n;        m = Locate(g, p);        n = Locate(g, q);        if(m == -1 || n == -1)        {            return;        }        #ifdef DEBUG        printf("p = %c\n", p);        printf("q = %c\n", q);        printf("m = %d\n", m);        printf("n = %d\n", n);        #endif        //向内存申请空间，生成边表结点        e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        if(e == NULL)        {            fprintf(stderr, "malloc() error.\n");            return;        }        //邻接序号为j        e->adjvex = n;        //将e指针指向当前顶点指向的结构        e->next = g->adjList[m].firstedge;        //将当前顶点的指针指向e        g->adjList[m].firstedge = e;        f = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        if(f == NULL)        {            fprintf(stderr, "malloc() error.\n");            return;        }        f->adjvex = m;        f->next = g->adjList[n].firstedge;        g->adjList[n].firstedge = f;    }}void printGraph(GraphList *g){    int i = 0;    #ifdef DEBUG    printf("printGraph() start.\n");    #endif    while(g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX)    {        printf("顶点:%c  ", g->adjList[i].data);        EdgeNode *e = NULL;        e = g->adjList[i].firstedge;        while(e != NULL)        {            printf("%d  ", e->adjvex);            e = e->next;        }        i++;        printf("\n");    }}int main(int argc, char **argv){    GraphList g;    CreateGraph(&g);    printGraph(&g);    return 0;}

本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。

3. 十字链表
对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法：十字链表，就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。

其中，tailvex是指弧起点在顶点表的下表，headvex是指弧终点在顶点表的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以增加一个weight域来存储权值。
比如下图，顶点依然是存入一个一维数组，实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v0来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以，v0边表结点hearvex = 3，而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0，由于v0只有一个出边顶点，所有headlink和taillink都是空的。

重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如上图圆圈2。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如上图圆圈3。
十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起，这样既容易找到以v为尾的弧，也容易找到以v为头的弧，因而比较容易求得顶点的出度和入度。
而且除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。
三、 图的遍历
1. 深度优先遍历
也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。 它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。
对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n2)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。

#define MAXVEX  100     //最大顶点数typedef int Boolean;            //Boolean 是布尔类型，其值是TRUE 或FALSEBoolean visited[MAXVEX];        //访问标志数组#define TRUE 1#define FALSE 0//邻接矩阵的深度优先递归算法void DFS(Graph g, int i){    int j;    visited[i] = TRUE;    printf("%c ", g.vexs[i]);                           //打印顶点，也可以其他操作    for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)    {        if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j])        {            DFS(g, j);                  //对为访问的邻接顶点递归调用        }    }}//邻接矩阵的深度遍历操作void DFSTraverse(Graph g){    int i;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;         //初始化所有顶点状态都是未访问过状态    }    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        if(!visited[i])             //对未访问的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次        {            DFS(g,i);        }    }}

//如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下。//邻接表的深度递归算法void DFS(GraphList g, int i){    EdgeNode *p;    visited[i] = TRUE;    printf("%c ", g->adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作    p = g->adjList[i].firstedge;    while(p)    {        if(!visited[p->adjvex])        {            DFS(g, p->adjvex);           //对访问的邻接顶点递归调用        }        p = p->next;    }}//邻接表的深度遍历操作void DFSTraverse(GraphList g){    int i;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;    }    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        if(!visited[i])        {            DFS(g, i);        }    }}

2. 广度优先遍历
又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。
对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是不同的情况选择不同的算法。

//邻接矩阵的广度遍历算法void BFSTraverse(Graph g){    int i, j;    Queue q;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;    }    InitQueue(&q);    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环    {        if(!visited[i])               //若是未访问过        {            visited[i] = TRUE;            printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作            EnQueue(&q, i);           //将此结点入队列            while(!QueueEmpty(q))     //将队中元素出队列，赋值给            {                int m;                DeQueue(&q, &m);                        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)                {                    //判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过                    if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])                    {                        visited[j] = TRUE;                        printf("%c ", g.vexs[j]);                        EnQueue(&q, j);                    }                }            }        }    }} 对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下//邻接表的广度遍历算法void BFSTraverse(GraphList g){    int i;    EdgeNode *p;    Queue q;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;    }    InitQueue(&q);    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        if(!visited[i])        {            visited[i] = TRUE;            printf("%c ", g.adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作            EnQueue(&q, i);            while(!QueueEmpty(q))            {                int m;                DeQueue(&q, &m);                p = g.adjList[m].firstedge;     找到当前顶点边表链表头指针                while(p)                {                    if(!visited[p->adjvex])                    {                        visited[p->adjvex] = TRUE;                        printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);                        EnQueue(&q, p->adjvex);                    }                    p = p->next;                }            }        }    }}

四、 最小生成树
一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。那么我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。
找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。下面分别介绍两种算法。
1. 普里姆（Prim）算法
普里姆算法，图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。
1.1 算法描述
从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。
（1）输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
（2）初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {}；
（3）重复下列操作，直到Vnew = V：在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素，而v则不是（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中；
（4）输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

2. 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
普力马算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。同样的思路，我们也可以直接就以边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时，我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构。
我们可以通过程序将邻接矩阵通过程序转化为边集数组，并且对它们的按权值从小到大排序.
克鲁斯卡尔算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为O(loge)，而外面有一个for循环e次，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)。《此处不包括由邻接矩阵转为边集数组》
对比两个算法，克鲁斯尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些

/* 邻接矩阵表示的图结构*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef char VertexType;        //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义#define MAXVEX  100             //最大顶点数，应由用户定义#define INFINITY    65535       //用65535来代表无穷大#define DEBUG//邻接矩阵结构typedef struct{    VertexType vexs[MAXVEX];    //顶点表    EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边    int numVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数}Graph;//边集数组#define MAXEDGE   100typedef struct{    int begin;    int end;    int weight;}Edge;//定位int locates(Graph *g, char ch){    int i = 0;    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        if(g->vexs[i] == ch)        {            break;        }    }    if(i >= g->numVertexes)    {        return -1;    }    return i;}//建立一个无向网图的邻接矩阵表示void CreateGraph(Graph *g){    int i, j, k, w;    printf("输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));    #ifdef DEBUG    printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);    #endif    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("请输入顶点%d:\n", i);        g->vexs[i] = getchar();        while(g->vexs[i] == '\n')        {            g->vexs[i] = getchar();        }    }    #ifdef DEBUG    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("%c ", g->vexs[i]);    }    printf("\n");    #endif    for(i = 0; i < g->numEdges; i++)    {        for(j = 0; j < g->numEdges; j++)        {            g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化        }    }    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)    {        char p, q;        printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:\n");        p = getchar();        while(p == '\n')        {            p = getchar();        }        q = getchar();        while(q == '\n')        {            q = getchar();        }        scanf("%d", &w);            int m = -1;        int n = -1;        m = locates(g, p);        n = locates(g, q);        if(n == -1 || m == -1)        {            fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");            return;        }        //getchar();        g->arc[m][n] = w;        g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图，矩阵对称    }}//打印图void printGraph(Graph g){    int i, j;    printf("构建的邻接矩阵如下所示.\n");    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)        {            printf("%5d  ", g.arc[i][j]);        }        printf("\n");    }}//prime算法最小生成树void MiniSpanTree_Prime(Graph g){    int min, i, j, k;    int adjvex[MAXVEX];         //保存相关顶点下标    int lowcost[MAXVEX];        //保存相关顶点间边的权值    lowcost[0] = 0;             //初始化第一个权值为0，即v0加入生成树    adjvex[0] = 0;              //初始化第一个顶点下标为0    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)    {        //循环除下标为0外的全部顶点        lowcost[i] = g.arc[0][i];   //将v0顶点与之有边的权值存入数组        adjvex[i] = 0;              //初始化都为v0下标    }    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)    {        min = INFINITY;             //初始化最小权值为无穷大        j = 1;        k = 0;        while(j < g.numVertexes) //循环全部顶点        {            //如果权值不为0,且权值小于min            if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)            {                min = lowcost[j];       //则让当前权值成为最小值                k = j;                  //将当前最小值的下标存入k            }            j++;        }        printf("(%d,%d)", adjvex[k], k); //打印当前顶点边中权值最小边        lowcost[k] = 0;                 //将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务        for(j = 1; j < g.numVertexes; j++)//循环所有顶点        {            if(lowcost[j] != 0 && g.arc[k][j] < lowcost[j])            {                //若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值                lowcost[j] = g.arc[k][j];                adjvex[j] = k;              //将下标为k的顶点存入adjvex            }        }    }    printf("\n");}//查找连线顶点的尾部int Find(int *parent, int f){    while(parent[f] > 0)    {        f = parent[f];    }    return f;}//直接插入排序void InsertSort(Edge edges[], int k){    int i, j;    Edge ss;    for(i = 1; i <= k; i++)    {        if(edges[i].weight < edges[i - 1].weight)        {            ss = edges[i];            for(j = i - 1; edges[j].weight > ss.weight; j--)            {                edges[j + 1] = edges[j];            }            edges[j + 1] = ss;        }    }}//将邻接矩阵转化为边集数组void Convert(Graph g, Edge edges[]){    int i;    int j;    int k;    k = 0;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        for(j = i; j < g.numVertexes; j++)        {            if(g.arc[i][j] < 65535)            {                edges[k].begin = i;                edges[k].end = j;                edges[k].weight = g.arc[i][j];                k++;            }        }    }    k--;#ifdef DEBUG    printf("k = %d\n", k);    printf("边集数组排序前，如下所示.\n");      printf("edges[]     beign       end     weight\n");    for(i = 0; i < k; i++)    {        printf("%d", i);        printf("        %d", edges[i].begin);        printf("        %d", edges[i].end);        printf("        %d", edges[i].weight);        printf("\n");    }#endif    //下面进行排序    InsertSort(edges, k);#ifdef DEBUG    printf("边集数组排序后，如下所示.\n");    printf("edges[]     beign       end     weight\n");    for(i = 0; i < k; i++)    {        printf("%d", i);        printf("        %d", edges[i].begin);        printf("        %d", edges[i].end);        printf("        %d", edges[i].weight);        printf("\n");    }#endif}//克鲁斯卡尔算法实现void MiniSpanTree_Kruskal(Graph g)  {    int i, n, m;    Edge edges[MAXEDGE];    //定义边集数组    int parent[MAXVEX];     //定义一数组用来判断边与边是否形成环    //此处为将邻接矩阵转化为边集数组edges并按权值由小到大排序    Convert(g, edges);    //    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        parent[i] = 0;  //初始化数组值为0    }    for(i = 0; i < g.numEdges; i++)          //循环每一条边    {        n = Find(parent, edges[i].begin);        m = Find(parent, edges[i].end);        if(n != m)      //假如n与m不等，说明此边没有与现有生成树形成环路        {            parent[n] = m;  //将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中                            //表示此顶点已经在生成树集合中            printf("(%d,%d) %d ", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);        }    }    printf("\n");}int main(int argc, char **argv){    Graph g;    //邻接矩阵创建图    CreateGraph(&g);    //打印网图    printGraph(g);    //普里姆算法求最小生成树    MiniSpanTree_Prime(g);    //克鲁斯卡尔算法求最小生成树    MiniSpanTree_Kruskal(g);        return 0;}