微分方程建模实例：对药剂量开处方

对于制药人员而言，决定一种药什么时候吃一次吃多少是一件非常严肃的问题。当体内的药物浓度高于一定值会给人体带来伤害，过低又起不到治病的效果。所以产生了如下问题：

药的剂量和给药间隔应该如何调节,才能保证体内的药物浓度处于一个安全有效的范围内?

对于单次用药在血液中的浓度水平变化，很自然的是随着时间的变化，逐渐减少，最后从体内完全代谢干净。而我们关心的是，在正规的用药间隔内，血液中的药物浓度的变化情况。
对于这个问题，我们事先定义以下变量

• H→ 药物的最高安全量级
• L→ 药物的最低有效量级
• C0→ 所开的药物量级

理想的给药浓度和给药时间间隔应该如下图所示：

每次服药的时候，药物浓度剩余量恰好为L， 而服用药物之后，药物的剂量又不超过最大值。

假设

为了解决这个问题，我们需要考虑任一 t 时刻决定药物在体内浓度C(t) 的因素。自然而然的，我们可以列出以下式子

C(t)=f(排出率，吸收率，剂量，用药间隔，体重，年龄，⋯)

这个模型当然可以一直的列下去，但是我们没有能力也没有办法去进行求解。所以我们需要将一切尽量的简化。我们将体重，年龄等这些因素设为一个常数。而浓度是决定药物效果的关键因素，吸收率和排出率决定了浓度的变化情况，所以我们接下来就对其进行探索。

排出率子模型

临床显示，血液中药物浓度的减少与浓度是成一定比例的，用数学语言来描述则是，药物浓度的减少与浓度是成一定比例的。即，如果我们假设血液中药物在t 时刻的浓度是一个可微函数C(t)， 则有

C′(t)=−kC(t)

这里的k 是一个常数，代表着药物的排出常数。注意到C′(t)是负的，因为它用来描述浓度是否在减少。
方程中的各种量的单位如下

• 时刻 t 以小时（hr）为单位
• C(t)以每毫升血液多少毫克(mg/ml)为单位
• C′(t) 则为mgml−1hr−1
• k 为 hr−1

对于一个给定的群体，H和L分别可以靠实验确定，于是令每次的给药的药物浓度为

C0=H−L

若我们假设C0是t=0时刻的浓度，则我们能够得到下列模型

dCdt=−kC，C(0)=C0

我们对该模型进行积分求解，可以得到

C(t)=C0e−kt

将初始浓度C0乘以e−kt，就能够得到t>0时刻的浓度变化。该曲线如下图所示

吸收率子模型

在探索完排出率子模型后，我们来对吸收率子模型进行建模。为了方便起见，我们认为，用药之后，药物浓度在体内能够迅速扩散，反应到数学上，即，服药之后，药物浓度的变化为一条竖直上升的直线。
我们假设t=0的时刻进行了第一次用药，根据排出率子模型，我们可以知道，再下一次服药时刻，即，时间T 之后，血液中的药物浓度剩余量为R1=C0e−kT，然后进行第二次用药，这时候的药物浓度瞬间跃升为C1=C0+C0e−kT。在第三次用药的时候，血液中的药物剩余浓度为R2=C1e−kT=C0+C0e−2kT。
药物在血液中的积累方式如下图所示：

现在，我们来确定第n次的剩余量Rn的公式 。若令Ci−1为第i次间隔开始时的药物浓度，Ri为该次结束时的剩余浓度。我们可以得到下表

由表我们可以得到下式

Rn=C0e−kT+C0e−2kT+⋯+C0e−nkT=C0e−kT(1+r+r2+⋯+rn)=C0e−kT(1−C0e−nkT)1−C0e−kT

其中r=e−kT，注意到当n很大的时候，C0e−nkT会非常接近于零。于是该序列有极限值R

R=limn→∞Rn=C0e−kT1−e−kT

或

R=C0ekT−1

所以，如果我们每T小时用一次药物，能够使得浓度上升到C0mg/ml，则剩余浓度的极限值有上式可以得到。公式中的k是排出率模型中定义的排出常数。

确定用药时间

从剩余药物浓度计算表中我们能够知道第n次间隔开始时的浓度Cn−1为

Cn−1=C0+Rn−1

如果期望药物的浓度接近于最高浓度H，则我们希望当n很大时，Cn−1接近于H，这就是说：

H=limn→∞Cn−1=limn→∞(C0+Rn−1)=C0+R

由上式和C0=H−L，我们可以得到R=L。
为了检验不同的用药时间间隔T对剩余浓度R的影响，我们可以构造一个无量纲比例，即，将R与每次药剂浓度的变化量C0进行比较：

RC0=1e−kT−1

我们知道，每次的Rn都是由上一次的Rn−1加上C0e−nkT得到的。所以Rn总是越来越大的。即：

0<Rn<R

所以有了两种情况。

1. 用药间隔T足够大
   当用药间隔T足够大的时候，比值R/C0会接近于0，这就说明每次的用药剩余浓度几乎为零。于是，每次用药都是独立的，那么对于体内的药物浓度曲线将如下图。
   
2. 用药间隔T很短
   当用药间隔T很短，恰好使得ekT稍大于1，这就使得R/C0远大于1。因为Rn越大，每次用药后的浓度Cn也就越大，这时的排出率也会越大。当一定的间隔之后，每次用药的浓度排除量会接近于每次得到的浓度C0的增加。这时候开始，体内的药物浓度会在间隔结束时的R和开始时的R+C0之间摆动。药物的浓度曲线会如下图所示：
   

结论

当药物浓度恰好处于H和L之间时是最为安全有效的，为了让病人能够方便，我们需要尽可能的延长用药间隔。由我们之前得到的几个式子，即：

R=C0ekT−1R=LC0=H−L

我们可以得到

ekT=H/L

对上式的两边取对数再除以k，可以得到期望的用药间隔

T=1klnHL

所以我们能够得到最后的结论。
再第一次给药时，应该使得药物浓度能够得到H，之后按照每次用药间隔T=1klnHL，将浓度提高C0=H−L进行治疗。