建模之微分方程

微分方程

建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，便可以进行描述、分析、预测或控制了。

混合溶液的数学模型

例4  设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

解  设 时刻容器内的盐量为 kg,考虑 到 时间内容器中盐的变化情况,在 时间内

    容器中盐的改变量 注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量

容器内盐的改变量为 ,注入的盐水中所含盐量为 , 时刻容器内溶液的质量浓度为 ,假设 到 时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于 时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为 ,这样即可列出方程

,

即

.

又因为 时,容器内有盐 kg,于是得该问题的数学模型为

这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为

                   .

下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现: 时刻容器内溶液的质量浓度为

,

且当 时, ,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.

溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量 注入质量浓度为 的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以 的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.

首先设容器中溶质的质量为 ,原来的初始质量为  ,  =0时溶液的体积为 ,在d 时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即

,

其中 是流入溶液的质量浓度, 为 时刻容器中溶液的质量浓度, 于是,有混合溶液的数学模型

该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.