素数筛选及优化

素数的埃式筛选法的思想：对于不超过N的每个正整数，删除2的倍数,3的倍数,4的倍数……N-1的倍数，当处理完所有数之后，还没有被删除的就是素数。

void GetPrime(int N)      //从0到N筛选素数{    memset(vis,0,sizeof(vis));    for(int i=2;i<=N;i++)    {        for(int j=i*2;j<=N;j+=i)//对N以内的倍数处理        {            vis[j]=1;                 //置为合数        }    }    vis[0]=vis[1]=1;}

这里介绍一个唯一分解定理：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为素数，那么N可以唯一分解成有限个素数的乘积。

优化：

由唯一分解定理可知合数一定是素数的倍数，所以就不用再对它们的倍数进行处理而重复操作了。

所以我们可以在第6行和第7行之间插入：

if(!vis[i])

对一个 i(i>2)，i 的2~ i-1倍数之前已经处理，所以只需处理 i 的 i~∞ 的倍数的情况。如果i>sqrt(N),则i*i>N,那么处理的倍数就是没有意义的。故第4行可改为：

for(int i=2;i<=sqrt(N);i++)

想想可不可以再优化？

我们可以打打草稿看一下：

2的倍数：4 6 8 10 12 14 16 18 20……

3的倍数：6 9 12 15 18 ……

5的倍数：10 15 20……

可以发现其中还是有重复操作的情况，3的2倍，5的2倍都是2的倍数，5的三倍都是3的倍数，这些数在处理2的倍数，3的倍数时已经处理过，而我们只需考虑3的3倍，3的4倍……5的5倍，5的6倍……

因此我们可以把第7行代码改为：

for(int j=i*i;j<=N;j+=i)

再加一个数组prime存放素数

这样可以得到一个比较好的算法

int prime[N1];              //存放素数的数组bool vis[N1];               //判断是否为素数void GetPrime(int N)      //从0到N筛选素数{    int ptot=0;    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(prime,0,sizeof(prime));    for(int i=2;i<=N;i++)              //为了得到素数数组，要放弃之前的小优化，i应该小于等于N    {        if(!vis[i])        {            prime[ptot++]=i;            for(int j=i*i;j<=N;j+=i)            {                vis[j]=1;                 //置为合数            }        }    }    vis[0]=vis[1]=1;}

还可不可以再优化？

是的，可以。

欧拉筛选可以做到O(n)的时间复杂度，因为给出的算法已经可以应付大多数的素数题目，这里就不再讨论了。这里给出一个网址，有兴趣的朋友可以研究一下http://www.cnblogs.com/zyf0163/p/4734985.html

其实还有一种厉（wu）害（lai）的方法：
事先写一个程序对一亿以内的素数打表，输出素数文本，然后把它们放在解题代码的数组里，到时直接查表，即使你不会什么算法，也可以这样做。