二分图

二分图

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集（A,B），并且图中每条边（i,j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G是一个二分图。

定义

  简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。

辨析

区分二分图，关键是看点集是否能分成两个独立的点集

上图中U和V构造的点集所形成的循环圈不为奇数，所以是二分图。

上图中U和V和W构造的点集所形成的循环圈为奇数，所以不是二分图。

最大匹配

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完全匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完全匹配。图 4 是一个完全匹配。显然，完全匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完全匹配。

算法

求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。

增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

匈牙利算法

用增广路求最大匹配（称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）

算法轮廓：

⑴置M为空(M是一个匹配)

⑵找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M

⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止

代码部分

下边是dfs版本的代码部分

// 顶点、边的编号均从 0 开始// 邻接表储存struct Edge{    int from;    int to;    int weight;    Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}};vector<int> G[__maxNodes]; /// G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 vector<Edge> edges;typedef vector<int>::iterator iterator_t;int num_nodes;int num_left;int num_right;int num_edges;int matching[__maxNodes]; /// 存储求解结果 int check[__maxNodes];bool dfs(int u){    for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { /// 对 u 的每个邻接点        int v = edges[*i].to;        if (!check[v]) {     /// 要求不在交替路中            check[v] = true; /// 放入交替路            if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {                /// 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功                matching[v] = u;                matching[u] = v;                return true;            }        }    }    return false; /// 不存在增广路，返回失败}int hungarian(){    int ans = 0;    memset(matching, -1, sizeof(matching));    for (int u=0; u < num_left; ++u) {        if (matching[u] == -1) {            memset(check, 0, sizeof(check));            if (dfs(u))                ++ans;        }    }    return ans;}

下边是bfs版本的代码

queue<int> Q;int prev[__maxNodes];int Hungarian(){    int ans = 0;    memset(matching, -1, sizeof(matching));    memset(check, -1, sizeof(check));    for (int i=0; i<num_left; ++i) {        if (matching[i] == -1) {            while (!Q.empty()) Q.pop();            Q.push(i);            prev[i] = -1; /// 设 i 为路径起点            bool flag = false; /// 尚未找到增广路            while (!Q.empty() && !flag) {                int u = Q.front();                for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {                    int v = edges[*ix].to;                    if (check[v] != i) {                        check[v] = i;                        Q.push(matching[v]);                        if (matching[v] >= 0) { /// 此点为匹配点                            prev[matching[v]] = u;                        } else { /// 找到未匹配点，交替路变为增广路                            flag = true;                            int d=u, e=v;                            while (d != -1) {                                int t = matching[d];                                matching[d] = e;                                matching[e] = d;                                d = prev[d];                                e = t;                            }                        }                    }                }                Q.pop();            }            if (matching[i] != -1) ++ans;        }    }    return ans;}

完全二分图

完全二分图是一种特殊的二分图，可以把图中的顶点分成两个集合，使得第一个集合中的所有顶点都与第二个集合中的所有顶点相连。

性质

  平面图不能含有子图K3,3；外平面图不能含有子图K3,2（这些是必要条件而不是充分条件）。 完全二部图Km,n的顶点覆盖数为min{m,n}，边覆盖数为max{m,n}。 完全二分图Km,n具有大小为max{m,n}的最大独立集合。 完全二分图Km,n具有大小为min{m,n}的最大匹配。 完全二分图Kn,n具有正则的n-边染色。 完全二分图Km,n有(m^(n-1)) * (n^(m-1))个不同的生成树。