LCA-ST算法&Tarjan_LCA

定义

树中两个节点x,y的最近公共祖先（Lowest Common Ancestors，简称LCA）指的是既是x祖先，又是y祖先且距离x和y最近的节点。

ST算法（在线）

我们有一个求x和y的LCA的初始想法：就是先让x和y中dep较大的节点与dep较小的节点处在同一深度，然后同时向上走，直到相遇，此时相遇的节点即为LCA：

复杂度为O(n∗Q)，并不是很好，我们需要优化。
初始想法很明显的一个缺陷是：每次只走一层，太慢了，而这和RMQ初始想法的缺陷是一样的。所以我们会想到ST算法！记录fa[i][j]表示i向上走2^j次到达的节点（我们认为根向上走若干次会到达自己），那么很容易得到转移：
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]
ps：我们还可以类似的记录其他信息，比如MAX[i][j]表示i向上走2^j次经过的边（点）权的最大值，从而求出一条路径中边（点）权的最大值。

构造好fa之后，如何求x到y的LCA呢？如下（不妨设dep[x]>dep[y]）：
1.从大到小枚举i（log2(dep[x]−dep[y])~0），如果dep[fa[x][i]]>=dep[y]，那么令x=fa[x][i]。由于这样可以视为枚举二进制位，所以处理完毕之后必定有dep[x]=dep[y]。
2.如果x=y，则x(y)即为LCA，结束。
3.从大到小枚举i（log2dep[x]~0），如果fa[x][i]!=fa[y][i]，那么令x=fa[x][i]，y=fa[y][i]。处理完毕之后x(y)再向上走一次必定就是LCA，原理同1。
4.令x=fa[x][0]，此时的x即为LCA。
复杂度为O((n+Q)∗log2n)。

Tarjan_LCA（离线）

求LCA还有个离线算法Tarjan，Tarjan的想法是先把所有询问存下来，然后一次性全部处理，所以是离线的。过程如下：
1.用DFS遍历这棵树（优先处理出子树）。
2.假设目前遍历的点是x，子树son已经处理完毕，那么将x与son用并查集合并。
3.枚举与x有关的询问(x,y)，如果y已经访问过，那么LCA(x,y)=getfa(y)即y目前的祖先。

这里简要说明一下为什么LCA(x,y)=getfa(y)：

由于y已经访问过，根据深度优先搜索DFS的性质，一定有dep[y]>=dep[x]。
因为y在x之前被访问，所以y必定已经和LCA处于同一个连通块中。而且x还没处理完毕，意味着LCA也没处理完毕，所以LCA必定是这个连通块的祖先。

还有一个小问题，就是我们怎么保证y已经访问过了呢？如果没有访问过，不是无法处理出LCA了？所以我们对于一个询问(x,y)，还需要添加询问(y,x)，这样就可以方便的解决这个问题了。

由于并查集路径压缩之后可以视为常数，所以复杂度为O(n+Q)。

模板题

HDU2586，题解传送门。