Bellman-ford算法

权值的概念引入：

权值就是定义的路径上面的值。
一般来说，权值愈小，路径愈佳。

Bellman-ford算法的简介：

Bellman - ford算法是求含负权图的单源最短路径的一种算法，效率较低，代码难度较小。其原理为连续进行松弛，在每次松弛时把每条边都更新一下，若在n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，因此无法得出结果，否则就完成。

松弛：

松弛就是更新两点间的最短路径。

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Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=(V,E), 其源点为s，加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman - Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

1. 初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ——>+∞, d[s]——>0;
2. 迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
3. 检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。
   ##注意：
   无论是在算法导论上，还是，实际的代码比较过程中，bellman算法和dijisktra算法都非常像，但是有几个关键的不同导致了两个算法的根本不同。在松弛的过程中，dijiskstra算法中有着贪心的思路，它每一次迭代都找出了一个子问题的最短路径。并用到新的一轮迭代的过程中去，使问题的规模不断减少，因此需要用到一个visit数组来记录该节点的最短路径是否被找到。另外，在dijisktra算法中默认，路径的权值都为正数。而bellman算法中，很明显，并不是贪心的。首先它没有visit数组来记录节点的最短路径是否被找到，其次，它每次迭代的规模是一样大的，并不能减少迭代的规模。，其次，因为，在bellman算法中设置了一个检查循环，因此，用bellman算法能检查出是否存在负权环。
   ##代码如下：

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;#define MAX 0x3f3f3f3f#define N 1010int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点typedef struct Edge //边{    int u, v;    int cost;}Edge;//边的数据结构Edge edge[N];//边int dis[N], pre[N];//距离，及其前驱bool Bellman_Ford(){    for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化        dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);    for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)//进行nodenum-1次的松弛遍历        for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)            if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）            {                dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;                pre[edge[j].v] = edge[j].u;            }            //与迪杰斯特拉算法类似，但不是贪心！            //并没有标记数组            //本来松弛已经结束了            //但是因为由于负权环的无限松弛性            bool flag = 1; //判断是否含有负权回路            //如果存在负权环的话一定能够继续松弛            for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)                if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)                {                    flag = 0;                    break;                }                //只有在负权环中才能再松弛下去                return flag;}void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）{    while(root != pre[root]) //前驱    {        printf("%d-->", root);        root = pre[root];    }    if(root == pre[root])        printf("%d\n", root);}int main(){    scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);    //输入节点的数目//输入边的数目//输入起点    pre[original] = original;//为了保存路径而保存    for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)    {        scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);    }//u,v,起点终点。cost路径长度    if(Bellman_Ford())//        for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路        {            printf("%d\n", dis[i]);            printf("Path:");            print_path(i);        }    else        printf("have negative circle\n");    return 0;}

PS：终于差不多理解了。QAQ