漫步最优化十九——封闭算法

想你的夜晚，
我在屋顶做着一个梦。
我和你拥抱在明亮的月光下，
动人的旋律环绕在我俩身边。
开始纠结是否要醒来，
因为梦里有你而更美。
——畅宝宝的傻逼哥哥

前面的文章中，我们提到了点到点算法的连续性，而点到点以及点到集合算法有个更加一般的性质：封闭性，对于点到点算法，这个性质就弱化为连续性。

定义1：

• 对于从空间X到空间X1的点到集合算法A，如果假设
  
  xk→x̂ for xk∈Xxk+1→x1^for xk+1∈A(xk)

意味着

x1^∈A(x̂ )

那么称算法在点x̂ ∈X处封闭。其中符号xk→x̂ 表示序列{xk}∞k=1收敛到极限x̂ 

• 对于点到集合算法A，如果对X中的每个点都是封闭的，那么称算法在X上封闭。

这个定义如图1所示，如果x̂ ,x1^之间存在实线，那么称算法A在点x̂ 处封闭，如果对所有x̂ ∈X都存在实线，那么A在X上封闭。

例1：算法A定义为

xk+1=A(xk)={12(xk+2)14xkfor xk>1for xk≤1

如图2所示，说明算法在x̂ =1处不封闭。

解：令序列{xk}∞k为

xk=1+12k+1

由此得到的序列为

{xk}∞k=0={1.5,1.25,1.125,…,1}

因此

xk→x̂ =1

图1

对应的序列{xk+1}∞k=0为

xk+1=A(xk)=12(xk+2)

所以

{xk+1}∞k=0={1.75,1.625,1.5625,…,1.5}

所以

xk+1→x̂ 1=1.5

接下来

A(x̂ )=14

且因为x̂ 1=1.5，我们有

x̂ 1≠A(x̂ )

故A在x̂ =1处不封闭。这个问题是由于A(xk)在xk=1处不连续造成的。

图2

例2：算法A定义为

xk+1=A(xk)=x2kfor −∞<xk<∞

说明A是封闭的。

解：令{xk}是收敛到x̂ 的序列，例xk→x̂ ，那么{xk+1}={A(xk)}={x2k}是收敛到x̂ 2的序列，例x2k→x̂ 1=x̂ 2。因为x̂ 1=A(x̂ )，所以我们可以得出对所有的x̂ ,−∞<x̂ <∞，A是封闭的。