水题 第八站 HDU Train problem II

参考博客 http://www.cnblogs.com/MisdomTianYa/p/6581898.html 

http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/03/21/2410519.html

卡特兰数又称卡塔兰数，前几项为1，2，5，14，42，132，429，1430....

1. 卡特兰数的一般项公式为

2. 另h(0)=1,h(1)=1,卡特兰数满足递推式：h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+....+h(n-1)*h(0) (n>=2)

    递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

3. 另类递推公式：h(n)=h(n-1)*(4n-2)/(n+1)

    递推关系的另类解为：h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1) (n=0,1,2,...)

  

卡特兰数的应用：出栈次序
      一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
      常规分析
      首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定第一个出栈的序数是k。
　  第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。
　  此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈
      序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列
      种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
　  看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=1，2，3，……）。
　   最后，令f（0）=1，f（1）=1。

凸多边形三角划分
　　在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。现在的任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。[6]
       分析 ：如果纯粹从f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去归纳，恐怕很难找到问题的递推式，我们必须从一般情况出发去找规 
律。因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-1） （n=2，3，4，……）。最后，令f（2）=1，f（3）=1。

卡特兰数模板

//ｈ( n ) = ( ( 4*n-2 )/( n+1 )*h( n-1 ) );#include<stdio.h>//*******************************//打表卡特兰数//第 n个 卡特兰数存在a[n]中，a[n][0]表示长度；//注意数是倒着存的，个位是 a[n][1] 输出时注意倒过来。 //*********************************int a[105][100];void ktl(){    int i,j,yu,len;    a[2][0]=1;    a[2][1]=2;    a[1][0]=1;    a[1][1]=1;    len=1;    for(i=3;i<101;i++)    {        yu=0;        for(j=1;j<=len;j++)        {            int t=(a[i-1][j])*(4*i-2)+yu;            yu=t/10;            a[i][j]=t%10;        }            while(yu)        {            a[i][++len]=yu%10;            yu/=10;        }        for(j=len;j>=1;j--)        {            int t=a[i][j]+yu*10;            a[i][j]=t/(i+1);            yu = t%(i+1);        }                while(!a[i][len])        {            len--;        }            a[i][0]=len;    }        }    int main(){    ktl();    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(int i=a[n][0];i>0;i--)        {            printf("%d",a[n][i]);        }            puts("");    }        return 0;}