《算法导论》第三章-第1节_练习（参考答案）

算法导论（第三版）参考答案：练习3.1-1，练习3.1-2，练习3.1-3，练习3.1-4，练习3.1-5，练习3.1-6，练习3.1-7，练习3.1-8

Exercise 3.1-1

Let f(n)+g(n) be asymptotically nonnegative functions. Using the basic definition of Θ-notation, prove that max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n)).

假设max(f(n),g(n))为f(n)，则有

(f(n)+g(n))/2≤f(n)f(n)≤f(n)+g(n)

一定存在n0，对所有n≥n0，有0≤12(f(n)+g(n))≤f(n)≤f(n)+g(n)。所以f(n)=Θ(f(n)+g(n))。同理可证max(f(n),g(n))为g(n)的情况。

即max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))。

Exercise 3.1-2

Show that for any real constants a and b, where b>0,

>(n+a)b=Θ(nb)>

多项式展开：

(n+a)b=(b0)nb+(b1)nb−1a+⋯+(b0)ab=Θ(nb)

Exercise 3.1-3

Explain why the statement, “The running time of algorithm A is at least O(n2) is meaningless.

大O表示一个渐进上界，“至少”是确定一个下界。

Exercise 3.1-4

Is 2n+1=O(2n)? Is 22n=O(2n)?

第一个正确。第二个错误22n=O(4n)

Exercise 3.1-5

Prove Theorem 3.1:

For any two functions f(n) and g(n), we have f(n)=Θ(g(n)) if and only if f(n)=O(g(n)) and f(n)=Ω(g(n)).

（根据渐进符号的数学表达式可知）

因为f(n)=Θ(g(n))，所以f(n)=O(g(n)),f(n)=Ω(g(n))。

因为f(n)=O(g(n)),f(n)=Ω(g(n))，所以f(n)=Θ(g(n))。

Exercise 3.1-6

Prove that the running time of an algorithm is Θ(g(n)) if and only if its worst-case running time is O(g(n)) and its best-case running time is Ω(g(n)).

同理exercise 3.1-5

Exercise 3.1-7

Prove o(g(n))∩ω(g(n)) is the empty set.

小o和小ω，都为非渐进精确界。即存在任意正常数c>0，有∃n1>0:0≤f(n)<cg(n)；同时也存在同样的正常数c，有∃n2>0:0≤cg(n)<f(n)。对于n>max(n1,n2)，可得f(n)<cg(n)<f(n)，显然不存在。所以o(g(n))∩ω(g(n))为空。

Exercise 3.1-8

We can extend our notation to the case of two parameters n and m that can go to infinity independently at different rates.

For a given function g(n,m) we denote O(g(n,m)) the set of functions:

>>O(g(n,m)=>{f(n,m):>>there exist positive constants c,n0,and m0such that 0≤f(n,m)≤cg(n,m)for all n≥n0 or m≥m0.}>>

Give corresponding definitions for Ω(g(n,m)) and Θ(g(n,m)).

Ω(g(n,m)={f(n,m):there exist positive constants c,n0,and m0such that 0≤cg(n,m)≤f(n,m)for all n≥n0 or m≥m0.}

Ω(g(n,m)={f(n,m):there exist positive constants c1,c2,n0,and m0such that 0≤c1g(n,m)≤f(n,m)≤c2g(n,m)for all n≥n0 or m≥m0.}