《算法导论》第四章-第4节_练习（参考答案）

算法导论（第三版）参考答案：练习4.4-1，练习4.4-2，练习4.4-3，练习4.4-4，练习4.4-5，练习4.4-6，练习4.4-7，练习4.4-8，练习4.4-9

Exercise 4.4-1

Use a reccursion tree to determine a good asymptotic upper bound on the recurrence T(n)=3T(⌊n/2⌋)+n. Use the substitution method to verify your answer.

假设 n 是2的幂（忍受不精确），则递归树为

注：请看更正版，一个更好的渐进紧确界。

树高 lgn，叶节点数量为 3lgn=nlg3，整棵树的代价：

T(n)=n+(32)n+(32)2n+⋯+(32)lgn−1n+Θ(nlg3)=∑i=0lgn−1(32)in+Θ(nlg3)=n(3/2)lgn−1(3/2)−1+Θ(nlg3)<n(3/2+1/2)lgn−1(3/2)−1+Θ(nlg3)<nn−1(3/2)−1+Θ(nlg3)=O(n2)

代入法证明 T(n)≤cn2+2n :

T(n)≤3c(n/2)2+2⋅n/2+n=34cn2+2n≤cn2+2n

O(n2) 为 T(n) 的一个渐进上界。

更正：

T(n)=n+(32)n+(32)2n+⋯+(32)lgn−1n+Θ(nlg3)=∑i=0lgn−1(32)in+Θ(nlg3)=n(3/2)lgn−1(3/2)−1+Θ(nlg3)=2n(3lgnn−1)+Θ(nlg3)=2⋅3lgn−2n+Θ(nlg3)=O(nlg(3))

代入法证明 T(n)≤cnlg3+2n :

T(n)≤3c(n/2)lg3+2⋅n/2+n=cnlg3+2n=O(nlg3)

O(nlg3) 为 T(n) 的一个渐进上界。

Exercise 4.4-2

Use a reccursion tree to determine a good asymptotic upper bound on the recurrence T(n)=T(n/2)+n2. Use the substitution method to verify your answer.

树高 lgn，叶节点数量为 1，整棵树的代价：

T(n)=n2+14n2+(14)2n2+⋯+(14)lgn−1n2+T(1)=∑i=0lgn−1(14)in2+T(1)<n2∑i=0∞(14)i+T(1)=n211−1/4+T(1)=O(n2)

证明 T(n)≤cn2

T(n)≤c(n/2)2+n2≤cn2/4+n2≤(c/4+1)n2(c>4/3)≤cn2

得证。

Exercise 4.4-3

Use a reccursion tree to determine a good asymptotic upper bound on the recurrence T(n)=4T(n/2+2)+n. Use the substitution method to verify your answer.

树高 lgn，叶节点数量为 4lgn=n2，整棵树的代价：

注：以下递归树求解有误，请略过。看更正版（上图递归树形状不变，其中常数项代价需更改）

T(n)=n+((4⋅12)n+4⋅2)+((42⋅(12)2)n+42⋅2)+⋯+((4lgn−1⋅(12)lgn−1)n+4lgn−1⋅2)+Θ(n2)=∑i=0lgn−1(2in+22i+1)+Θ(n2)=∑i=0lgn−12in+2∑i=0lgn−14i+Θ(n2)=n2lgn−12−1+24lgn−14−1+Θ(n2)=n2−n+2n2−13+Θ(n2)=Θ(n2)

更正:

T(n)=n+((4⋅12)n+4⋅(2))+((42⋅(12)2)n+42⋅(1+2))+((43⋅(12)3)n+43⋅(12+1+2))+⋯+((4lgn−1⋅(12)lgn−1)n+4lgn−1⋅(12lgn−3+⋯+2))+Θ(n2)=∑i=0lgn−1(2in)+∑i=1lgn−1(4i+1−2i+2)+Θ(n2)=∑i=0lgn−1(2in)+∑i=2lgn4i−4∑i=1lgn−12i+Θ(n2)=n2lgn−12−1+8−4lgn+11−4+42−2lgn1−2+Θ(n2)=n2−n+13(4n2−8)+4n−8+Θ(n2)=Θ(n2)

证明 T(n)≤cn2+2n

T(n)≤4c(n/2)2+2⋅n/2+n≤cn2+2n

得证 T(n)=O(n2)。

Exercise 4.4-4

Use a reccursion tree to determine a good asymptotic upper bound on the recurrence T(n)=2T(n−1)+1. Use the substitution method to verify your answer.

树高 n−1，叶节点数量为 2n−1，整棵树的代价：

T(n)=1+2+4+⋯+2n−2+Θ(2n−1)=2n−1−1+Θ(2n−1)=Θ(2n)

证明 T(n)<c2n+n

T(n)≤2c2n−1+(n−1)+1≤c2n+n

得证 T(n)=O(2n)。

Exercise 4.4-5

Use a reccursion tree to determine a good asymptotic upper bound on the recurrence T(n)=T(n−1)+T(n/2)+n. Use the substitution method to verify your answer.

画图可知递归树不是完全二叉树，从 lgn 到 n−1 层为非完全的。求整棵树代价中，可以推测 T(n)=O(2n)

证明 T(n)≤c2n−4n

T(n)≤c2n−1−4(n−1)+c2n/2−4n/2+n≤c(2n−1+2n/2)−5n+1≤c(2n−1+2n/2)−4n≤c(2n−1+2n−1)−4n≤c2n−4n(n>1/4)(n>2)

得证 T(n)=O(2n)

Exercise 4.4-6

Argue that the solution to the recurrence T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+cn, where c is a constant, is Ω(nlgn) by appealing to the recurrsion tree.

递归树直到 log3n 后才开始变得不完全，加上每层代价都为 cn，所以 T(n)≥Ω(nlog3n)=Ω(nlgn)。

Exercise 4.4-7

Draw the recursion tree for T(n)=4T(⌊n/2⌋)+cn, where c is a constant, and provide a tight asymptotic bound on its solution. Verify your answer with the substitution method.

树高 lgn，叶节点数量为 4lgn=n2，整棵树的代价：

T(n)=cn+2cn+4cn+⋯+4lgn−1cn2lgn−1+Θ(n2)=∑i=0lgn−12icn+Θ(n2)=cn2lgn−12−1+Θ(n2)=Θ(n2)

证明 T(n)≤cn2+2cn

T(n)≤4c(n/2)2+2cn/2+cn=cn2+2cn

证明 T(n)≥cn2+2cn

T(n)≥4c(n/2)2+2cn/2+cn=cn2+2cn

得证 T(n)=Θ(n2)。

Exercise 4.4-8

Use a recursion tree to give an asymptotically tight solution to the recurrence T(n)=T(n−a)+T(a)+cn, where a≥1 and c>0 are constants.

树高 n/a（假设 n 能被 a 整除），叶节点数量为 2，整棵树的代价：

T(n)=cn+cn+c(n−a)+c(n−2a)+⋯+c(n−(na−1)a+a)+Θ(1)=cn2/a+c(na−1)a−∑1n−1a−1c⋅i⋅a+Θ(1)=Θ(n2)+Θ(n)−Θ(n)+Θ(1)=Θ(n2)

尝试用代入法，证明 T(n)≤cn2

T(n)≤c(n−a)2+ca+cn=cn2−2acn+ca2+ca+cn=cn2−cn(2a−1)+ca2+ca≤cn2=O(n2)(a≥1>1/2, n>a2+a2a−1)

证明 T(n)≥c(n+1)2 (这部分有trick)

T(n)≥c(n−a)2+ca+cn=cn2−2acn+ca2+ca+cn=cn2−c(2an−a−n)≥cn2+cn≥cn2=Θ(n2)(a<1/2,n>2a)

决策树给出了精确值，可是代入法证明失败了。

Exercise 4.4-9

Use a recursion tree to give an asymptotically tight solution to the recurrence T(n)=T(αn)+T((1−α)n)+cn, where α is a constant in the range 0<α<1, and c>0 is also a constant.

类似练习4.4-6。假设 α 更大，则树高 lg1αn。整棵树在 lg11−αn 以上，每一层次代价都为 cn，所以

T(N)≤cn⋅lg11−αn≤cn⋅lgn((1−α)≤12)

即 T(n)=Ω(nlgn)

代入法证明 T(n)≤dnlgn

T(n)≤dαnlg(αn)+c(1−α)nlg((1−α)n)+cn=dαnlgn+d(1−α)nlgn+dαnlgα+d(1−α)nlg(1−α)+cn≤dnlgn+(d(αlgα+(1−α)lg(1−α))+c)n≤dnlgn

只要 d≥−cαlgα+(1−α)lg(1−α)，T(n)=O(nlgn)。

所以 T(n)=Θ(nlgn)。