【数据结构】二叉搜索树

概念及其性质

二叉搜索树，又名二叉排序树，二叉查找树

二叉搜索树有一下特点：

（1）若左子树不为空，则左子树的所有节点均小于根节点

（2）若右子树不为空，则右子树的所有节点均大于根节点

（3）左右子树也是二叉搜索树

（4）每棵树都有自己的key值，而且不能重复

如何定义二叉搜索树

//二叉搜索树的节点，Key-Value结构template<typename K,typename V>struct ResearchBinaryTreeNode{ResearchBinaryTreeNode<K, V>* _left;ResearchBinaryTreeNode<K, V>* _right;K _key;V _value;ResearchBinaryTreeNode(const K& key,const V& value);};//定义二叉搜索树template<typename K,typename V>class ResearchBinaryTree{    typedef ResearchBinaryTreeNode<K,V> Node;public:    ResearchBinaryTree();//构造函数    ~ResearchBinaryTree();//析构函数        bool Insert(const K& key,const V& value);//插入    Node* Find(const K& key);//查找    bool Remove(const K& key);//删除    void InOrder();//中序遍历     Node* FindR(const K& key);//递归形式查找    bool InsertR(const K& key, const V& value);//递归形式插入    bool RemoveR(const K&key);//递归形式删除protected:    Node* _root;};

二叉搜索树的查找

二叉搜索树的查找，就是从根节点开始，进行key值的比较

若相同，则查询到；若大于查找的key值，则走左孩子；小于的话走右孩子；如果为空，则没找到

非递归实现

Node* Find(const K& key){Node* cur = _root; //根据搜索二叉树的特点来进行查找while (cur){if (key < cur->_key)cur = cur->_left;else if (key>cur->_key)cur = cur->_right;elsereturn cur;}return NULL;}

递归实现

Node* FindR(const K& key){return _FindR(_root, key);}Node* _FindR(Node* root, const K& key){if (root == NULL)return NULL;if (key < root->_key)return _FindR(root->_left, key);else if (key>root->_key)return _FindR(root->_right, key);elsereturn root;}

二叉搜索树的插入

非递归实现

bool Insert(const K& key,const V& value){if (_root == NULL){_root = new Node(key,value);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = cur;//找到需要插入节点的父亲节点while (cur){parent = cur;if (cur->_key < key)cur = cur->_right;else if (cur->_key>key)cur = cur->_left;elsereturn false; }//parent为需要插入节点的父亲节点if (parent->_key > key)parent->_left = new Node(key,value);else if (parent->_key<key)parent->_right = new Node(key,value);return true;}

递归实现

bool InsertR(const K& key, const V& value){return _InsertR(_root, key, value);}bool _InsertR(Node*& root, const K& key, const V& value){//构建新节点if (root == NULL){root = new Node(key, value);return true;}if (key < root->_key)return _InsertR(root->_left, key, value);else if (key > root->_key)return _InsertR(root->_right, key, value);elsereturn false;}

二叉搜索树的删除

二叉搜索树稍微复杂一点的地方就是删除部分，在删除一个节点的时候，有四种情况

（1）删除节点的左子树为空  如删除节点6

（2）删除节点的右子树为空  如删除节点9

（3）删除节点的左子树和右子树都为空 如删除节点2

（4）删除节点的左子树和右子树都不为空 如删除节点7

由于当删除节点的左子树和右子树都为空时，左子树和右子树都为空，满足左子树为空（或右子树为空）的条件，因为我们可以将这种情况划分到左子树为空的情况中

因此，三种情况的处理结果如下：

（1）若左子树为空，就让父亲节点指向删除节点的右子树；比如删除6，就让7指向6的右子树

（2）若右子树为空，就让父亲节点指向删除节点的左子树；比如删除3，就让5指向3的左子树

（3）若都不为空，则用替换法进行删除；比如删除7，就找7的右子树（9）的最左节点8，将8放到7的位置，然后删除原来的8

非递归实现

bool Remove(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = NULL;Node* delNode = NULL;//找出要删除的节点以及其父亲节点while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key >cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{break;}}if (cur == NULL)return false;//如果删除的是根节点，那么parent的值为NULL //cur此时是要删除的节点if (cur->_left == NULL){delNode = cur;//cur是父亲节点的左孩子的话，就把cur的右孩子赋给父亲节点的左孩子//否则，将cur的右孩子赋给父亲节点的右孩子if (parent == NULL)_root = cur->_right;else if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}else if (cur->_right == NULL){delNode = cur;//cur是父亲节点的左孩子的话，就把cur的右孩子赋给父亲节点的左孩子//否则，将cur的右孩子赋给父亲节点的右孩子if (parent == NULL)_root = cur->_left;else if(parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}else{//都不为空的情况，需要采用替换法来解决Node* subLeft = NULL;//定义右子树的最左节点//循环找到右子树的最左节点//这里subLeft不可能为空subLeft = cur->_right;parent = cur;while (subLeft->_left){parent = subLeft;subLeft = subLeft->_left;}cur->_key = subLeft->_key;if (parent->_left == subLeft)parent->_left = subLeft->_right;elseparent->_right = subLeft->_right;delNode = subLeft;}delete delNode;delNode = NULL;return true;}

递归实现

bool RemoveR(const K&key){return _RemoveR(_root, key);}bool _RemoveR(Node* root,const K& key){if (root == NULL)return false;//递归，找到要删除的节点if (root->_key < key)return _RemoveR(root->_right, key);else if (root->_key > key)return _RemoveR(root->_left, key);else{Node* delNode = root;//删除节点的左为空if (root->_left == NULL)root = root->_right; else if (root->_right == NULL)root = root->_left;else//左右都不为空的情况{Node* parent = root;Node* subLeft = root->_right;while (subLeft->_left){parent = subLeft;subLeft = subLeft->_left;}delNode = subLeft;//若为左子树，代表走了while循环，否则没有走循环//要删除的节点是subLeftroot->_key = subLeft->_key;if (parent->_left == subLeft)parent->_left = subLeft->_right;elseparent->_right = subLeft->_right;delete delNode;return true;}}}