Prim（普里姆）求小生成树 模板

Prim算法介绍

普里姆(Prim)算法，和克鲁斯卡尔算法一样，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想

对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。 从所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有顶点)的边中选取权值最小的边(u, v)，将顶点v加入集合U中，将边(u, v)加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边

Prim的算法图解

以上图G4为例，来对普里姆进行演示(从第一个顶点A开始通过普里姆算法生成最小生成树)。

初始状态：V是所有顶点的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！
第1步：将顶点A加入到U中。
此时，U={A}。
第2步：将顶点B加入到U中。
上一步操作之后，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，边(A,B)的权值最小。将顶点B添加到U中；此时，U={A,B}。
第3步：将顶点F加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；因此，边(B,F)的权值最小。将顶点F添加到U中；此时，U={A,B,F}。
第4步：将顶点E加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；因此，边(F,E)的权值最小。将顶点E添加到U中；此时，U={A,B,F,E}。
第5步：将顶点D加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；因此，边(E,D)的权值最小。将顶点D添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D}。
第6步：将顶点C加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；因此，边(D,C)的权值最小。将顶点C添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D,C}。
第7步：将顶点G加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；因此，边(F,G)的权值最小。将顶点G添加到U中；此时，U=V。

此时，最小生成树构造完成！它包括的顶点依次是：A B F E D C G。

普利姆的代码说明

1. 基本定义

   // 邻接矩阵typedef struct _graph{    char vexs[MAX];       // 顶点集合    int vexnum;           // 顶点数    int edgnum;           // 边数    int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵}Graph, *PGraph;// 边的结构体typedef struct _EdgeData{    char start; // 边的起点    char end;   // 边的终点    int weight; // 边的权重}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示”顶点i(即vexs[i])”和”顶点j(即vexs[j])”是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
2. 普里姆算法
/*
* prim最小生成树
*
* 参数说明：
* G – 邻接矩阵图
* start – 从图中的第start个元素开始，生成最小树
*/

void prim(Graph G, int start){    int min,i,j,k,m,n,sum;    int index=0;         // prim最小树的索引，即prims数组的索引    char prims[MAX];     // prim最小树的结果数组    int weights[MAX];    // 顶点间边的权值    // prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。    prims[index++] = G.vexs[start];    // 初始化"顶点的权值数组"，    // 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。    for (i = 0; i < G.vexnum; i++ )        weights[i] = G.matrix[start][i];    // 将第start个顶点的权值初始化为0。    // 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。    weights[start] = 0;    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)    {        // 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。        if(start == i)            continue;        j = 0;        k = 0;        min = INF;        // 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。        while (j < G.vexnum)        {            // 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。            if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)            {                min = weights[j];                k = j;            }            j++;        }        // 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。        // 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中        prims[index++] = G.vexs[k];        // 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。        weights[k] = 0;        // 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。        for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++)        {            // 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。            if (weights[j] != 0 && G.matrix[k][j] < weights[j])                weights[j] = G.matrix[k][j];        }    }    // 计算最小生成树的权值    sum = 0;    for (i = 1; i < index; i++)    {        min = INF;        // 获取prims[i]在G中的位置        n = get_position(G, prims[i]);        // 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。        for (j = 0; j < i; j++)        {            m = get_position(G, prims[j]);            if (G.matrix[m][n]<min)                min = G.matrix[m][n];        }        sum += min;    }    // 打印最小生成树    printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start], sum);    for (i = 0; i < index; i++)        printf("%c ", prims[i]);    printf("\n");}

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