差分约束-Vijos-p1094

还没有对差分约束有了解的同学我推荐一篇大牛的博客，它的博客都讲的比较好。

博客链接：夜深人静写算法-差分约束

上面的大神讲的很详细，相信认真看了就会懂。
我说说我对差分约束的理解。我感觉差分约束就是将问题转换成一些不等式组，然后通过这些不等式组建边，最后就转换成求最短路、最长路、最大值、最小值等问题。（个人理解）

现在我以Vijos的p1094为例（感觉是一道不错的模版题）

题目链接：https://vijos.org/p/1094

题意
就是给出一些节点的大小关系（>,<,=），让你求出最小的k，使得所有节点填上[0,k]之间的数能满足所有关系，不存在就输出NO。

题解
感觉基本上算是裸的差分约束，直接不等式建边。比如给出1>2即1-2>0即1-2>=1，所以可以建一条2指向1的权值为1的边。（这里数字都是节点编号）同理，对于1<2可以建一条1指向2的权值为1的边，对于1=2可以建一条1到2的权值为0的双向边，建完边后就是一个图。因为我们要满足所有的不等式，而不等式能经过一些变换得到新不等式，最后所有不等式基本都是a-b>=k的类型，所以我们求的就是所有不等式中k的最大值，对应的就是图中的最长路。（因为那个不等式满足了，其它所有不等式都能找到对应值满足，就像在图中最长路上节点依次填入0-k，其它节点肯定能填入0-k之间的值使之满足）
这里就遇到一个问题了，因为不知道起始点即源点，所以我们不好跑单源最长路。怎么解决？想这种情况我也遇到过几次了，一般可以自己新建一个点当源点，然后与其它节点之间添加一些合适的边就可解决问题。对于这一题我是指定0作为源点，然后与其它所有点之间建一条0指向它的边即可。（不能是双向边，不然会出现正权环）最后SPFA跑一遍最长路就可以了。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int INF = -0x3f3f3f3f;const int maxn = 1e3+5;int n,m;int dist[maxn],vis[maxn],inqueue_num[maxn];struct Edge{    int to,len;};vector<Edge> edge[maxn];void init(){    memset(dist,INF,sizeof(dist));    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(inqueue_num,0,sizeof(inqueue_num));    for(int i=0;i<=n;i++) edge[i].clear();}bool SPFA(){    int x;    dist[0]=0,vis[0]=1,inqueue_num[0]++;    queue<int>q;    q.push(0);    while(!q.empty())    {        x = q.front(),q.pop();        vis[x]=0;        for(int i=0;i<edge[x].size();i++)        {            int y=edge[x][i].to;            int len=edge[x][i].len;            if(dist[y]<dist[x]+len)            {                dist[y] = dist[x]+len;                if(!vis[y])                {                    q.push(y);                    vis[y]=1;                    inqueue_num[y]++;                    if(inqueue_num[y]>=n) return false;                }            }        }    }    return true;}int main(){    init();    scanf("%d%d",&n,&m);    int u,v,c;    Edge tmp;    while(m--)    {        scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);        if(c==1)        {            tmp.to=u,tmp.len=1;            edge[v].push_back(tmp);        }        else if(c==0)        {            tmp.to=v,tmp.len=0;            edge[u].push_back(tmp);            tmp.to=u,tmp.len=0;            edge[v].push_back(tmp);        }        else        {            tmp.to=v,tmp.len=1;            edge[u].push_back(tmp);        }    }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        tmp.to=i,tmp.len=0;        edge[0].push_back(tmp);    }    if(SPFA())    {        int ans=INF;        for(int i=1;i<=n;i++) ans = max(ans,dist[i]);        printf("%d\n",ans);    }    else printf("NO\n");    return 0;}