数学，期望（Balls and Boxes，HDU 5810）

本题是半推半猜做出来的。

n个球放到m个盒子。

第i个盒子有Xi个球。

可知Xi~b（n，1/m）

E（Xi）=n/m

Var（Xi）=n（m-1）/m^2

如果Xi相互独立，那么Xi可以看成第i次独立重复实验随机变量X的值，其中X~b（n，1/m）那么V=∑mi=1(Xi−X¯)2m就是对X方差的无偏估计。（已知均值，所以分母不是m-1）

关于样本均值和总体均值：

https://www.zhihu.com/question/20099757

可以参考概率论参数估计部分。

所以E（V）=Var（X）=Var（Xi）=n（m-1）/m^2

这跟正确答案一样。

但是Xi不是相互独立的。

本来只是想深入探索下，结果好像自己证出来了。

把m个Xi当成一个整体来考虑，这就是一个m维随机变量，Xi同分布于~b（n，1/m），但是Xi之间不相互独立。

根据期望和方差的运算性质。

E（V）=1/m∑E（Xi-X）^2=1/m∑Var（Xi）=Var（Xi）。

可以参考

概率论与数理统计（茆诗松）

第三章 多维随机变量部分

重点是3.4.1和3.4.2里的一些概念和运算性质。

代码

#include<stdio.h>using namespace std;typedef long long ll;ll n,m;ll gcd(ll a,ll b){    return !b?a:gcd(b,a%b);}void solve(){    ll fz = n*(m-1);    ll fm = m*m;    ll GCD = gcd(fz,fm);    fz/=GCD;    fm/=GCD;    printf("%lld/%lld\n",fz,fm);}int main(){    while(~scanf("%lld %lld",&n,&m)&&n&&m) solve();    return 0;}