多重背包

原文链接：http://blog.csdn.net/insistgogo/article/details/11176693

1、问题描述

已知:有一个容量为V的背包和N件物品，第i件物品最多有Num[i]件，每件物品的重量是weight[i]，收益是cost[i]。

问题:在不超过背包容量的情况下，最多能获得多少价值或收益

举例：物品个数N = 3，背包容量为V = 8，则背包可以装下的最大价值为64.

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2、基本思路（直接扩展01背包的方程）

由于本问题和完全背包很类似，这里直接给出方程。

状态转移方程：    f[i][v]:表示前i件物品放入重量为v的背包获得的最大收益  f[i][v] = max(f[i][v],f[i - 1][V - k * Weight[i]] + k * Value[i]);  其中0 <= k <= min(Num[i],V/Weight[i]);//这里和完全背包不同。  边界条件  f[i][0] = 0;  f[v][0] = 0;  

代码：

#include <iostream>  using namespace std;  const int N = 3;//物品个数  const int V = 8;//背包容量  int Weight[N + 1] = {0,1,2,2};  int Value[N + 1] = {0,6,10,20};  int Num[N + 1] = {0,10,5,2};  int f[N + 1][V + 1] = {0};  /* f[i][v]:表示把前i件物品放入容量为v的背包中获得的最大收益。 f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - k * Weight[i]] + K * Value[i]);其中1 <= k <= min(Num[i],V/Weight[i]) //初始化 f[i][0] = 0; f[0][v] = 0; */  int MultiKnapsack()  {      int nCount = 0;      //初始化      for (int i = 0;i <= N;i++)      {          f[i][0] = 0;      }      for (int v = 0;v <= V;v++)      {          f[0][v] = 0;      }      //递推      for (int i = 1;i <= N;i++)      {          for (int v = Weight[i];v <= V;v++)          {              f[i][v] = 0;              nCount = min(Num[i],v/Weight[i]);//是当前背包容量v，而不是背包的总容量              for (int k = 0;k <= nCount;k++)              {                  f[i][v] = max(f[i][v],f[i - 1][v - k * Weight[i]] + k * Value[i]);              }          }      }      return f[N][V];  }  int main()  {      cout<<MultiKnapsack()<<endl;      system("pause");      return 1;  }  

复杂度分析：

程序需要求解N*V个状态，每一个状态需要的时间为O（v/Weight[i]），总的复杂度为O(NV*Σ(V/Weight[i]))。

3、转换为01背包问题求解（直接利用01背包）

思路 1、直接对每一件物品进行拆分成min（Num[i],V/Weight[i]）件，之后在拆分后的集合上进行01背包的求解。