lucas定理

Lucas定理的结论：

Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)×Lucas(n/p,m/p,p) ，特别的，Lucas（x，0，p）=1。

 其实说白了，Lucas定理就是求组合数C（n，m）mod p（p是素数）的值，即(（ n! /(n-m)!*m!） )mod p，而我们

又知道(a/b)mod p=a*b^(p-2)mod p（这里用到了一点逆元和费马小定理的知识），这样我们就可以在计算阶乘的过程中对p取模，不会造成溢出。（需要注意的是Lucas定理处理的p的范围大致为10^5数量级）。

 排列组合问题：插板法 http://blog.sina.com.cn/s/blog_7cc6f2770100red3.html

         C(n+m,n)=C(n+m,m);注意这个重要的结论 

下面给出两道lucas定理的模板题

例题一：HDU3037

题目链接  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

题目大意：m个种子要放在n颗树上，问有多少种方法，结果对素数p取模。

题目分析：

m个种子可以分成两部分：放在树上的和不放在树上的，我们可以假想出第n+1颗树，认为那些没放在树上的种子放在这颗假想树上，这样，问题就变为了m个种子放在n+1颗树上有多少种方案数了。等价于方程X1+X2+...+Xn+1=m有多少组非负整数解，即(X1+1)+(X2+1)+...+(Xn+1+1)=m+n+1有多少组正整数解。挡板原理：（m+n+1）个1，分成n+1部分的方案数==>C（n+m,m）。到这儿就很明显了，果断Lucas。

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;long long p;const int N=150000;long long fac[N];void init()///对阶乘进行预处理{    fac[0]=1;    for(int i=1;i<=p;i++)    {        fac[i]=fac[i-1]*i%p;    }}long long quick_mod(long long a,long long b){    long long ans=1;    a%=p;    while(b)    {        if(b&1)        {            ans=ans*a%p;            b--;        }        b>>=1;        a=a*a%p;    }    return ans;}long long C(long long n,long long m){    if(m>n)        return 0;    return fac[n]*quick_mod(fac[n-m]*fac[m],p-2)%p;}long long lucas(long long n,long long m){    if(m==0)        return 1;    return C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;}int main(){    int t;    cin>>t;    long long n,m;    while(t--)    {        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);        init();        printf("%lld\n",lucas(n+m,m));    }}

           

对于p比较大的情况，不能对阶乘预先处理，需要单独处理。

题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2020

题目大意：求C（n，m）mod p。n,p是10^9数量级的。

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;long long p;long long quick_mod(long long a,long b)///快速幂取模{    long long ans=1;    a%=p;    while(b)    {        if(b&1)        {            ans=ans*a%p;            b--;        }        b>>=1;        a=a*a%p;    }    return ans;}long long C(long long n,long long m)///对阶乘单独处理，适用于p比较大情况{    if(n<m)  ///注意返回值为0        return 0;    long long ans=1;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        long long a=(n-m+i)%p;        long long b=i%p;        ans=ans*(a*quick_mod(b,p-2)%p)%p;///乘法逆元和费马小定理    }    return ans;}long long lucas(long long n,long long m){    if(m==0)        return 1;    return C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    long long n,m;    while(t--)    {        scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);        printf("%I64d\n",lucas(n,m));    }}